CHAPITRE VII

Application de la théorie précédente aux déplacements qui dépendent

de deux variables indépendantes 88

Les déplacements à deux variables indépendantes jouent un rôle parti-

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culièrement important dans la théorie des surfaces. Il convient de les étudier complètement. — Application des formules générales. — Étude des mouvements infiniment petits. Notion de la vis due à Bail. Il y a deux déplacements, réels ou imaginaires, qui se réduisent à des rotations. — Théorème de Schônemann et Mannheim, qui permet de généraliser la notion du centre instantané et de construire les normales aux surfaces trajectoires de. tous les points.

Etude de tous les déplacements infiniment petits qui peuvent se produire à partir d'une position donnée. Simplification des formules par un choix convenable des axes et des variables indépendantes. Les axes de tous les mouvements hélicoïdaux engendrent un conoïde que Plùcker a le premier étudié. Expression du pas des différentes vis. Construction géométrique des formules. Propriétés du conoïde de Plùcker : il est la seule surface réglée pour laquelle les projections d'un point de l'espace sur les génératrices rectilignes soient sur une courbe plane. Démonstration de cette proposition découverte par M. P. Appell. — Etude des relations qui existent entre le conoïde de Plùcker et le complexe des droites qui sont perpendiculaires à ses génératrices.

Etude spéciale du cas particulier, envisagé par Ribaucour, où deux des déplacements infiniment petits sont des rotations autour d'axes concourants. — Dans ce cas, tous les déplacements se réduisent à des rotations autour d'axes passant par un même point et situés dans le même plan. Le mouvement peut être obtenu par le roulement d'une surface sur une autre surface qui est applicable sur la première. — H y a alors un centre instantané de rotation, et les normales à toutes les surfaces trajectoires passent par un même point,