CHAPITRE IX

Surfaces définies par des propriétés cinématiques 127

Propriété cinématique commune aux surfaces de révolution, aux

6o8 TABLE DES MATIERES.

cylindres et aux hélicoïdes. — Ces différentes surfaces peuvent être déplacées d'une manière continue sans cesser de coïncider avec ellesmêmes.

Définition des hélicoïdes les plus généraux. — Leur élément linéaire lorsqu'on forme un système de coordonnées curvilignes avec les hélices tracées sur la surface et leurs trajectoires orthogonales. — Théorème de Bour : La forme de l'élément linéaire ainsi obtenu convient à une double infinité d'hélicoïdes parmi lesquels se trouvent des surfaces de révolution, en nombre simplement infini. — Étude des surfaces de révolution qui sont toutes applicables les unes sur les autres. — Si l'on considère les points qui se correspondent sur toutes ces surfaces, le produit des rayons de courbure principaux de la surface est le même en tous ces points; la tangente au méridien, prolongée jusqu'à l'axe, a la même longueur pour toutes les surfaces. — Application à la sphère et à la surface pseudosphérique.

Des surfaces les plus générales qui peuvent être engendrées par le mouvement d'une courbe invariable de forme. — Leur élément linéaire. — Application aux surfaces réglées. — Cas où le mouvement de la courbe invariable se réduit à une translation. — Surfaces de translation, leur étude directe. — Définition due à Lie des surfaces de translation. — Elles peuvent être considérées comme lieux des milieux de toutes les cordes qui joignent un point d'une courbe (C) à un point d'une autre courbe (C). — Cette nouvelle définition montre bien qu'elles peuvent être engendrées de deux manières différentes par la translation d'une courbe invariable. — Propriété géométrique tout à fait générale des surfaces de translation : Les deux courbes dont la translation peut engendrer la surface déterminent sur cette surface un système de coordonnées curvilignes conjuguées, c'est-à-dire un système tel que les tangentes aux deux lignes coordonnées qui se croisent en chaque point de la surface sont conjuguées suivant la définition de Dupin. — Pour établir cette proposition, à laquelle la Géométrie conduirait aisément, on donne un théorème général, sur lequel on aura à revenir, relatif aux systèmes de coordonnées curvilignes qui sont formées de courbes conjuguées. — On revient aux surfaces les plus générales engendrées par le mouvement d'une courbe invariable pour examiner le cas spécial où cette courbe est plane et où les vitesses de tous ses points sont normales au plan qui la contient. — Élément linéaire de la surface. — Cas spécial où le plan de la courbe roule sur un cylindre. — Surfaces moulures cylindriques. — Bour a montré qu'il existe une infinité de telles surfaces applicables les unes sur les autres.

Extension de la méthode cinématique précédente au cas où la courbe qui engendre la surface varie en même temps de forme et de position.

— Surfaces engendrées par un cercle. — Détermination des trajectoires orthogonales de tous les cercles de la surface. — Elle se ramène à l'intégration d'une équation de Riccati. — Étude du mouvement d'un système qui se déplace en variant de grandeur, mais en restant semblable à lui-même. — Loi de variation des vitesses de ses différents points. — Surfaces spirales de Maurice Lévy. — Leur élément linéaire.

— Extension du théorème de Bour. — Il y. a une double infinité de surfaces spirales applicables sur une surface spirale donnée.