CHAPITRE X

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Sur une classe particulière de surfaces de translation i5i

On se propose, dans ce Chapitre, de déterminer toutes les surfaces qui peuvent, de deux ou de plusieurs manières, être considérées comme des surfaces de translation. Cette question, qui a été posée et résolue par Sophus Lie, a été aussi l'objet des recherches d'Henri Poincaré. On va en donner une solution nouvelle qui n'exige aucune connaissance de la théorie des fonctions abéliennes.

Enoncé précis du problème à résoudre. — A chaque solution du problème convenablement formulé correspondent trois surfaces distinctes, qui peuvent être regardées, de deux ou plusieurs manières, comme des surfaces de translation. — Résultat de la recherche : Les parallèles menées par un point fixe aux tangentes de l'une quelconque des courbes (C-) dont la translation engendre la surface sont les génératrices d'un cône algébrique du quatrième ordre. — Détermination effective de ces courbes. — Démonstration directe du théorème d'Abel pour le problème particulier étudié. — Cas où le cône du quatrième ordre se décompose. — S'il se décompose en deux cônes du second ordre, l'une des surfaces correspondantes peut être regardée d'une infinité de manières comme une surface de translation. — Equation en coordonnées cartésiennes de cette surface.