CHAPITRE I

Des systèmes conjugués 160

On commence l'étude des systèmes conjugués par l'énoncé et la démonstration d'une belle proposition de M. G. Kœnigs. Tandis qu'il semble impossible de déterminer des systèmes orthogonaux par des opérations qui ne comportent aucune intégration, il est toujours possible d'obtenir, sur une surface quelconque, sans aucune intégration, des systèmes à lignes conjuguées. 11 suffit de prendre, comme première famille, les sections planes dont les plans passent par une droite quelconque (D) et, comme deuxième famille, les courbes de contact des cônes qui sont circonscrits à la surface et ont leurs sommets sur la droite ( D ). — Application de la proposition de M. Kœnigs à la solution d'un problème résolu par Joachimsthal : détermination des surfaces admettant un système de lignes de courbure plaDes dont les plans passent par une droite fixe. On démontre que les lignes de courbure de l'autre système sont sur des sphères qui coupent à angle droit la surface cherchée et l'on ramène le problème à la détermination des trajectoires orthogonales d'une famille de cercles situés dans un plan et dont les centres sont en ligne droite. — Digression sur les familles les plus générales de cercles dans le plan. La détermination de leurs trajectoires orthogonales dépend d'une équation de Riccati. — Notion

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des familles similaires de cercles introduite par V. Rouquct. — On peut définir, sans aucun signe de quadrature, la famille de cercles la plus générale et les trajectoires orthogonales de ces cercles. — Retour au problème proposé. Équations qui définissent les surfaces de Joachimsthal.

On met en évidence le caractère projectif et dualistique de la définition des systèmes conjugués. — On peut rattacher à tout système conjugué deux équations linéaires aux dérivées partielles : l'une à laquelle satisfont les quatre coordonnées homogènes d'un point de la surface, l'autre à laquelle satisfont les quatre coordonnées du plan tangent. En dehors de ces deux équations, il n'y en a pas d'autre de même forme à laquelle satisfassent, soit les quatre coordonnées ponctuelles, soit les quatre coordonnées tangentielles,

Application à la détermination de toutes les surfaces pour lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes. — Indication d'un mode de génération de ces surfaces.

Les polaires réciproques de ces surfaces sont celles sur lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. — Étude du cas particulier où l'une des familles est formée des courbes de contact de cylindres circonscrits. — On essaye de déterminer des surfaces de cette catégorie applicables les unes sur les autres. On résout le problème pour les surfaces admettant deux familles de courbes conjuguées planes : les unes situées dans des plans parallèles, les autres dans des plans passant par une droite fixe perpendiculaire aux plans des sections parallèles.

— Comme les surfaces du second degré admettent de trois manières différentes celte génération, on peut déterminer trois familles de surfaces applicables sur une surface à centre du second degré.