CHAPITRE II

Systèmes conjugués. Lignes asympto tiques i85

Application d'une des propositions précédentes à la détermination des surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes. — Résolution de l'équation aux variables mêlées dont dépend la solution de ce problème. — Cyclide de Dupin. — H y a trois classes distinctes de surfaces à lignes de courbure planes. — On indique un mode de génération très simple de ces différentes surfaces. Retour à la théorie générale. — Définition des caractéristiques d'une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre. — Réduction à une forme typique. — Cas où les caractéristiques sont confondues.

Équations linéaires les plus générales auxquelles satisfont, soit les quatre coordonnées ponctuelles, soit les quatre coordonnées tangentielles. Leurs caractéristiques correspondent toujours à un système conjugué.

— Cas particulier où l'on obtient le système conjugué formé par les lignes de courbure.

Recherche des lignes asymptotiques. — Leur définition est à la fois projective et dualistique. — Leur équation différentielle, soit en coordonnées ponctuelles, soit en coordonnées tangentielles. — Appli-

TABLE DES MATIÈRES. 6ll

Pages, cation nouvelle de la proposition de M. G. Kœnigs. Elle fournit un moyen de débarrasser du terme rectangle l'équation différentielle des lignes asymptotiques. — Détermination des lignes asymptotiques de quelques surfaces remarquables.

Relations entre la théorie des lignes asymptotiques et celle des équations linéaires aux dérivées partielles.