CHAPITRE V

Du système orthogonal formé par les lignes de courbure 244

Équation différentielle des lignes de courbure en coordonnées cartésiennes. — Formation de la même équation à l'aide des coordonnées pliïckériennes de la normale. — Application à la détermination des lignes de courbure des surfaces définies par l'équation xmyn zf = C.

— Système triple orthogonal dont fait partie cette famille de surfaces.

— Détermination des lignes de courbure de la surface lieu des points tels que la somme de leurs distances à deux droites qui se rencontrent à angle droit soit constante. — Formules d'Olinde Ilodrigues relatives aux lignes de courbure. — Premières notions sur la méthode de représentation sphérique de Gauss. — Rapports avec la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles. — Les lignes de courbure sont les caractéristiques de celle de ces équations qui, en même temps que x, y, s, admet x^-t y"--\- z"1 comme solution particulière. — L'inversion conserve les lignes de courbure. — Premier exemple d'équations linéaires admettant des solutions particulières liées par une relation quadratique et homogène. — Système triple formé de surfaces cyclides à trois plans de symétrie. — Démonstration du célèbre théorème de Dupin relatif aux systèmes triples orthogonaux. — Cette démonstration se rattache à la considération d'un système de trois équations linéaires aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coordonnées cartésiennes x, y, 3, équations dont on peut déterminer simplement les coefficients lorsqu'on a calculé l'expression de l'élément linéaire de l'espace dans le système orthogonal employé.