CHAPITRE III

Les surfaces minima en coordonnées tangentielles 347

Formules relatives au plan tangent et à la normale. — Nouvelle méthode d'intégration de l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima ; on emploie le système de coordonnées tangentielles étudié au n° 165.

— Équation finie qui représente la surface minirna la plus générale quand on adopte un système quelconque de coordonnées tangentielles.

— Quand la surface minima est donnée a priori, on indique comment on obtiendra les expressions des fonctions $ (u), &x (z«,), f( u). f\ ( ut ) qui caractérisent cette surface. — Application à l'hélicoïde gauche à plan directeur.

Détermination des lignes de courbure et des lignes asymptotiques des surfaces minima. Théorème de Michael Roberts. Cette détermination se fait par des quadratures, qui sont les mêmes pour les deux séries de lignes. — Les formules relatives aux coordonnées tangentielles permettent de résoudre une question importante et d'indiquer les transformations que subissent les fonctions f(u), /,(«,), S1 {u), »\{ui) quand on déplace la surface ou, ce qui revient au même, lorsqu'on effectue un changement de coordonnées. — Application des résultats obtenus à la détermination de toutes les surfaces minima qui sont des hélicoïdes, des surfaces de révolution ou des surfaces spirales.

TABLE DES MATIÈRES. 6r5

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Détermination de toutes les surfaces minima qui peuvent, de plusieurs manières, et par conséquent ici d'une infinité de manières, être considérées comme des surfaces de translation.