CHAPITRE IV

Représentations conformes des surfaces minima 365

Elément linéaire de la surface minima et de sa représentation sphérique.

— La représentation sphérique réalise un tracé géographique de la surface minima sur la sphère. — Cette propriété est caractéristique, et, si l'on fait abstraction de la sphère, pour laquelle elle est évidente, elle appartient aux seules surfaces minima. — En laissant de côté encore la sphère, les surfaces minima sont les seules pour lesquelles un système orthogonal, tracé sur la surface et différent de celui qui est formé parles lignes de courbure, ait pour représentation sphérique un système orthogonal. — Problème de Minding ; extension à une surface quelconque de la définition des méridiens et des parallèles. Les méridiens sont les courbes pour lesquelles la normale est parallèle à un plan vertical; les parallèles sont les courbes pour lesquelles la normale fait un angle constant avec la verticale. — Recherche des surfaces pour lesquelles les méridiens et les parallèles forment un système orthogonal. Ce sont, ou bien des surfaces moulures, ou bien des surfaces minima.

Représentations conformes obtenues par Riemann de la surface minima sur le plan. Elles font correspondre aux lignes de courbure de la surface deux systèmes de droites rectangulaires dans le plan. — Dans le tracé géographique sur la sphère, les lignes de courbure qui forment sur la surface un système isotherme admettent nécessairement pour représentation sphérique un système isolherme. — Théorème de Bour.

— Recherche des surfaces minima à lignes de courbure planes. — Si l'une des familles est composée de courbes planes, il en est de même de l'autre. — Surface transcendante d'Ossian Bonnet. — Surface algébrique d'Enneper. Sa construction et ses propriétés principales.

Autres représentations conformes sur le plan indiquées par Riemann et dans lesquelles une famille de sections de la surface par des plans parallèles est représentée par une famille de droites parallèles.