y, nous aurons les équations

d ld£ dt \dp

AA%.)=i-

d'où l'on déduit

àf

àf

dr

dp

dt \àq

d (à.f\. àf JJ\

dt \ dr J dp dq '

On a donc, en intégrant,

àf àf àf .

(4) p-f--hg-f--+-r^-—f=const.

dp dq dr

équation à laquelle il faut joindre la suivante :

à.fV , (à/y- . {à/y

dp / \ àq / \dr /

qui exprime que a, [3, y sont des cosinus directeurs.

En portant les valeurs de yc, q tirées de ces équations (4) et (5) en fonction de /• dans l'une des équations (o), on aura le temps par une quadrature. Après avoir obtenu ainsi les expressions de /?, q, r en fonction du temps, on achèvera, au moyen d'une seule quadrature, l'intégration du système (i) dont on connaît déjà la solution particulière fournie par les équations (2).

La solution est, on le voit, toute pareille à celle que l'on a donnée dans l'étude du mouvement d'un corps solide abandonné à lui-même; mais l'analogie est plus complète encore, si l'on suppose que la fonction f soit homogène. Alors l'équation (4) se réduit à la suivante :

f(Pi 9, '") = constl,

et l'on peut représenter le mouvement en faisant rouler sur un plan fixe la surface invariablement liée aux axes mobiles dont l'équation, par rapport à ces axes, est

Si l'on suppose que /soit entière et du second degré, on retrouve ainsi la solution de Poinsot.

33. Gomme deuxième application, proposons-nous de déterminer les mouvements dans lesquels il y a deux relations données à l'avance

entre les trois rotations. Nous allons donner d'abord une méthode géométrique indiquant le degré de difficullé de ce problème. Dans la représentation de Poinsot, le mouvement est obtenu si l'on fait rouler le cône (y), lieu de l'axe instantané de rotation dans le corps mobile, sur un cône fixe (C). Or, les deux équations précédentes, déterminant le lieu décrit dans le corps par l'extrémité de l'axe instantané, nous font connaître par cela même le cône (y). Quant au cône (C), prenons-le arbitrairement, mais de telle manière que la section de ce cône, par la sphère de rayon î , soit la développée sphérique d'une courbe arbitraire tracée sur cette sphère, ce qui permet d'obtenir l'arc de cette section sans aucune quadrature; puis faisons rouler le cône (y) sur le cône (C). Les équations que nous aurons à écrire pour exprimer ce mouvement contiendront évidemment la quadrature qui donne l'arc de la courbe d'intersection du cône (y) par la sphère de rayon i . Pour une position quelconque du cône (y), Faxe instantané sera la génératrice de contact de ce cône avec le cône (C), et les rapports de />, q, r seront connus. Les équations (6) nous fei^ont donc connaître les grandeurs de ces rotations. En exprimant que le cône (y) roule à chaque instant avec la vitesse ainsi obtenue, on aura à effectuer une nouvelle quadrature qui déterminera le temps. Ainsi, le calcul peut être dirigé de telle manière que l'on n'ait à effectuer que deux quadratures. On arrive à des résultats équivalents par la méthode analytique suivante.

34. Supposons trois des neuf cosinus, a, b, c par exemple, exprimés en fonction des deux variables x et y par les formules (6) (n° 26). Si a, b, c sont réels, x et y seront des imaginaires de la

forme

x = h -+- ki,

h — ki

En exprimant que ces deux quantités vérifient l'équation de Riccati (il) (n° 15), on a deux relations; elles sont identiques à

APPLICATIONS DE LA THÉORIE PRÉCÉDENT lï. 5ç)

celles que l'on obtient en substituant seulement la valeur de x et égalant les parties réelles et les parties imaginaires

£* = rk -h 2 (i ■+■ h* - k*) - phk, dt i

^L = rh + «/Je £ (/, + /t2 __ /}.a v

Eliminons/;, </, /' entre les équations (6) et (7), nous serons ainsi conduits à une équation de la forme

Et, si l'on prend pour k, par exemple, une fonction arbitraire de A, cette équation fera connaître le temps t par une quadrature. Nous connaissons trois des neuf cosinus, «, b, c. Une dernière quadrature nous fera connaître les six autres. Les résultats ainsi obtenus coïncident, on le voit, avec ceux que nous a fournis la méthode géométrique.

3o. Nous avons vu que, si l'on considère une courbe gauche

quelconque et si l'on étudie le mouvement du trièdre formé par la

tangente, la normale principale et la binormale en un point, on

aura, en supposant que l'origine de ce trièdre décrit l'unité d'arc

dans l'unité de temps,

p et x désignant les rayons de courbure et de torsion. Proposonsnous de déterminer toutes les courbes pour lesquelles il y a une relation donnée à l'avance entre la courbure et la torsion

Gela reviendra à déterminer le mouvement d'un trièdre dans lequel on a, entre les rotations, les deux relations

En appliquant la méthode générale donnée plus haut, on aura les expressions des neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre mobile, en fonction de l'arc de la courbe qui, ici, est égal nu temps; puis, on déterminera les coordonnées rectangulaires a?,

fin LIVRE I. — CHAPITRE IV.

)', ; du point de la courbe, sommet du trièdre, par les formules

dx dy , dz ,.

ds ds ds

qui donneront

x = / a ds, y = I a' ds. z = / a" ds.

36. La méthode que nous venons d'indiquer, et qui est générale, est susceptible de simplifications dans certains cas particuliers.

Supposons, par exemple, que l'on demande les courbes dont la torsion est constante. Les formules de .T. -A. Serret

de

de'

de"

ds ~

ds

ds

nous donnent b, b', b" en fonction des dérivées de c. Si l'on porte ces valeurs dans les relations entre les neuf cosinus

a = b' e" — c' b", a = b" c — be\ a!' — bc' — cb' .

on trouve

1 i de

= T ~dS

„ de'

-clTs

l „dc

de"

~C ~dJ

[ de'

= x\c-dS

, de ds

On aura, par suite, pour les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe, les formules

1 x = la ds = x I (c' de" — c" de' ),

(9) ' y = I a' ds = t / (e" de — c de").

f 3 = / a" ds = t / (c de' — e' de ),

c, c', c" étant trois fonctions d'une seule variable assujetties à

l'unique condition

Si, par exemple, on pose

/' k l " y/ fi* +%%'+■&

APPLICATIONS DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. 6l

on aura

r kdl—ldk r==\! A* + *«+/*' r l dh — h dl

Ces formules coïncident, aux notations près, avec celles que J.-A. Serret a données clans la 5e édition de V Application de V Analyse à la Géométrie deMonge, p. 566.

37. Une méthode analogue s'applique à la détermination des courbes dont le rayon de première courbure est constant. Reprenons, en effet, les formules

dx da h

ds ds p

On en déduit

ds

yda2-{- da'-^r da"1

et, par conséquent,

dx = a p \/ da'1 -+- do!- -+- da"'1.

On aura donc, pour les trois coordonnées d'un point de la courbe cherchée,

i ut )

da,

p I a da,

= P I a" da,

ch désignant la différentielle de l'arc de la courbe sphériquc décrite par le point («, a', a"). Le centre de courbure aura pour coordonnées les valeurs suivantes :

da

a dz

la'

da!'

, i„ au j

da,

cl il est aisé de vérifier, conformément aux résultais du n° 11, que le lieu de ce point esl aussi une courbe dont la première courbure est conslanle et égale à celle de la première.

38. Enfin, si l'on cherche les courbes jouissant de la propriété signalée par J. Bertrand (n" 10) et dont les deux courbures sont liées par l'équation

on posera

ma — ne = y. ym-^- rc2,

(i3) <j nia' — ne' = a' \/m"2 -+- n-,

ma" — ne" = a" \fm--r- n1.

y., y.', y." étant trois fonctions évidemment assujetties à la relation

les formules de Serrel

da b de b

ds p ds X

nous donneront, en tenant compte de la relation (12),

1 du. , I — drj! . . 1 — dit" , .,

ds ' ds as

Puis on aura

( 1 5 ) na -4- nie = n ( b' c" — c' b" ) -H m( a' b" — b' a )

dy." „ da!

ds ds

. / , dy!' „ doc' = ( m- -+- /i2 ) ( a -7-

et de même

\ na -+- me = ( ?n2 -+- /t-j I a — y.

/ia -+- me = ( m2 -4- n1 ) a — =- — * -7-

rï5 «s

Les relations (10) et (i5) nous permettent de déterminer a, «',

a" ; c, c', c" et nous donnent

</x" „ do!

\ as as

! eh. dm."

+-n[a dl -*7Ts

I d%' , doi

Des formules (i4) nous déduisons d'ailleurs

ds'2 = ( ni- 4- n2 ) ( efa2 -+- <r/a'2 -+- do."'1).

On aura donc les coordonnées rectangulaires d'un point de la courbe par l'emploi des équations

x = / a ds. y = / a! ds, z = I a" ds,

ce qui conduit au résultat définitif

d/3 = \/da.--+- du' --h du"'1, 1 x — m f a de -+■ n I (a' doc" — a." ds,'),

y = m I a' du -+- n I (a" dx — a da"),

z = ni I a" d? -+- n I (a a?a' — a' e?a).

Suivant que l'on fera m ou n égal à zéro, on retrouvera les formules (9) ou (10); a, a\ a" sont d'ailleurs, nous l'avons vu, trois fonctions d'une seule variable assujetties à l'unique relation

Les formules précédentes s'établiraient aussi très aisément par l'emploi de la Géométrie.

39. Des trois systèmes (g), (10), (17)5 le plus simple est le système (9), qui détermine les courbes dont la torsion est constante. Nous allons l'appliquer à la recherche de la courbe à torsion constante, dont l'indicatrice sphérique est une conique sphérique. On reconnaîtra aisément que, si par le centre de la

LIVUE 1. — CHAPITRE IV.

sphère de rayon i on mène une parallèle à la binormale, cette parallèle coupera la sphère en un point donL les coordonnées seront c, c', c", <-l qui décrira une ellipse sphérique supplémentaire de l'indicatrice sphérique.

En choisissant convenablement les axes, on pourra donc obtenir pour /*, k, l les expressions très simples

h=i/t q(?7p)-, *-\/-/,ib7,?}-> i=\/ c(c~?y.

qui conviennent à la courbe située sur le cône

et, en portant ces valeurs de h, A', / dans les formules (9), on aura le système

dçt

/ ac C d?

V (« — c)(c — 6) J /Uf

qui définit la courbe cherchée.

Dans la première édition de cet Ouvrage, j'avais appelé l'attention sur les courbes à torsion constante et sur l'intérêt qu'il y aurait à déterminer celles qui sont algébriques. Cet appel a suscité un grand nombre de recherches; j'ai exposé celles qui m'ont paru le plus intéressantes pour la Géométrie dans la Note IV de la quatrième Partie de cet Ouvrage, à laquelle je renverrai le lecteur désireux de poursuivre cette étude.