CHAPITRE Y

Différentes recherches de géométrie exigent la considération de déplacements qui dépendent, non plus d'un seul paramètre, mais de plusieurs paramètres distincts. On commence ici l'étude de ces déplacements et l'on suppose d'abord que le système mobile, dont la position dépend de n paramètres tx, £2, ..., tn, ait un point fixe. Introduction de ce qu'on peut appeler les rotations partielles dans l'étude du déplacement infiniment petit. Équations aux dérivées partielles linéaires qui relient les neuf cosinus aux rotations partielles. Conditions d'intégrabilité auxquelles doivent satisfaire les rotations partielles. Quand ces équations sont vérifiées, il y a un déplacement, et un seul, correspondant aux valeurs données des rotations partielles. La démonstration directe de cette proposition conduit à un théorème important, qui sera utile dans la suite.

Cas général où le système mobile n'a pas de point fixe. Introduction des translations partielles. Relations différentielles entre ces translations. Expression des composantes Dx, D , D. du déplacement infiniment petit d'un point du système mobile. Si les conditions d'intégrabilité auxquelles doivent satisfaire les rotations et les translations sont vérifiées, il y a un déplacement correspondant, et un seul. Méthode par laquelle, sans sortir du triédre mobile, on démontre cette proposition fondamentale, après avoir retrouvé les conditions d'intégrabilité.

40. Dans les Chapitres précédents, nous avons vu comment on rattache la théorie des courbes gauches à l'étude du mouvement d'un trièdre. D'autres recherches de géométrie et, en particulier, celles qui se rapportent aux surfaces, aux congruences, aux systèmes triples orthogonaux, aux complexes, etc., exigent la considération de systèmes mobiles dont les différentes positions dépendent de deux, on de plus de deux paramètres distincts. Nous allons entreprendre l'étude de tels systèmes ; et, pour étudier d'abord les propriétés des rotations, nous commencerons par supposer que le système mobile ait un point fixe, qui sera, comme précédemment, l'origine, à la fois, des axes fixes et des axes mobiles.

Alors les neuf cosinus qui déterminent la position des axes mobiles sont des fonctions de n variables indépendantes ts , t2,...: tn. D. — I. 5

06 LIVRE I. — CIIAP. V.

V partir de chacune de ses positions, le système mobile peut prendre une infinité de mouvements, que l'on obtiendra en prenant pour ?|, t2, ..., t„ des fonctions arbitraires de t. Nous introduirons ici n systèmes différents de rotations et nous désignerons par p;, qi, t'i les rotations qui se rapportent au déplacement dans lequel tL varie seule. On aura donc

(0 ÂS=a.Pr'-ï*'. ^ = ^-a''' éT^'l'-ÎP'! .

a, [3, v désignant soit «, b, c, soit a', b\ c', soit a", b", c". 11 résulte immédiatement de là que, si l'on considère un déplacement du système dans lequel les n quantités ti sont des fonctions données de £, on aura

(,) ^ = PR-ïQ, S-tP—b, ^ = «Q-PP>

P, Q, R ayant les valeurs

(3) P = ïp/-3r. Q=.sy<^ R = 2'<^r

Les projections sur les axes mobiles du déplacement infiniment petit d'un point dont les coordonnées relatives sont x, y, z auront pour valeurs

!D,C = dx -t- zlùqi dti — yl, ri dt,-, Dy = dy^-a?Z. r£ dtt — s Zpt dt,-, D- = dz -\- y~Zpi dt, — x S qi dti.

Cela résulte immédiatement des formules (9) du n° \, jointes aux. équations (3).

Nous allons tout d'abord établir certaines relations aux dérivées partielles auxquelles doivent nécessairement satisfaire les rotations.

Si l'on différence les équations (1) par rapport aux diverses variables qui y entrent, on peut évidemment obtenir en fonction

de a, S, y deux expressions différentes de - — — • En égalant ces ' ' ' ' v dtidtk b

deux expressions on trouve

a/dr( dt/c \ (dqt dqk \

Comme celte équation doit avoir lieu quand on y remplace (3, y soit par b, c, soit par b' ', e', soit par b", c" ', il faudra que les coefficients de ,3 et de y soient nuls séparément. Nous avons ainsi deux

d2 B d2 y équations. En égalant de même les deux valeurs de ■ ,'* > w ,'

1 • dtidtk otidtic

déduites du système (i), on obtiendra seulement une équation nouvelle, et l'on sera conduit au système

àpt dp,c ! dqt dqk I art dr/c

\jrk—drt=ptqk-qtPk>

qui joue un rôle fondamental dans la théorie. Les équations (5)

, -, 3n(n — i ) sont au nombre de '•

41. Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra 3n quantités pi, qi, /•/ vérifiant les relations (5), il existera un mouvement dans lequel ces six quantités seront les relations partielles, telles que nous les avons définies.

Pour établir ce résultat, il suffira évidemment de montrer que l'on peut obtenir des valeurs des neuf cosinus satisfaisant aux 3n équations (i). Cette proposition paraîtra évidente à tous ceux qui ont étudié la théorie des équations aux dérivées partielles (' ), mais il y aura avantage pour la suite à l'établir directement. Voici comment on peut raisonner.

Posons

(6) B/= ^. — ipt+an,

Il est facile de voir que, toutes les fois que les relations (5)

(') On pourra consulter à ce sujet les théorèmes généraux relatifs aux équations aux dérivées partielles que nous avons donnés au Livre III, Chapitre Ior de nos Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2e édition.

68 LIVRE 1. — CIIAP. V.

seront vérifiées, on aura identiquement

I irk ^ CJ"Ci~ r/cBi= *r + qiÇk ~ nB/"

, s ] àB; dBl{

( 7 ) '. "^r -+- r* A,- — /?/, C ,- = — -+- rt A/, — Pi C/,,

^ hp/,Bi— q/c\i= — -\-piBie— qiAkt

Ces relations, qu'on pourrait obtenir directement à l'aide de quelques considérations de cinématique, nous conduisent immédiatement à la proposition suivante :

Supposons connues des solutions a, (3, y des équations de rang i

(8) A/ =6, B,-=o, Ct=o.

Portons ces solutions dans les équations de rang k. Si les résultats de la substitution A*, B*, C# ne sont pas nuls, ce sont encore des solutions des équations de rang i.

En nous appuyant sur cette proposition, nous allons montrer que le système des équations (i) admet toujours une solution, et une seule, lorsqu'on se donne ce que nous appellerons les valeurs initiales des inconnues, c'est-à-dire les valeurs qu'elles prennent, par exemple, pour

ti= t% — . ..= in = o,

en admettant bien entendu que les relations (5), et, par suite, les identités (^j), soient vérifiées.

La proposition étant évidente pour n = i, nous pouvons suivre la méthode d'induction complète, et il suffira de démontrer que, si elle est vraie pour le cas de n — i paramètres ti, elle l'est encore lorsqu'on prend un paramètre de plus.

Admettons donc que le théorème soit démontré pour n — i paramètres et, considérant le système des équations (i)qui contient n paramètres, proposons-nous de déterminer, s'il existe, le système de solutions pour lequel a, (3, Y se réduisent à des constantes données a0, (30, yo lorsqu'on y fait, par exemple,

t\ = ti = • . . = £« = o.

Considérons le premier groupe des équations (i)

(9) A, = o, Bj = o, Ci=o

et faisons-y

h = h = ....= tn = o,

Les fonctions cherchées a, [3, y se réduiront à des fonctions de t{< a', ^', y', qui devront satisfaire aux équations (9) et de plus se réduire à a0, (30, yo pour t{ = o; a', (UT, y' seront donc déterminées sans ambiguïté par cette double condition.

Intégrons maintenant toutes les autres équations du système (1)

(10) A; = o, B,-=o, Ci = o (1 = 2, 3, ..., n),

en y laissant £4, t2, . .., £« variables, mais nous devrons assujettir les inconnues a, [3, y à prendre les valeurs a', [3', y' pour

h= h = . . .= tn = o.

Ces solutions existent et forment un système unique, puisque nous supposons le théorème démontré pour le cas de n — 1 variables. Nous allons montrer que les valeurs ainsi obtenues de a, jU, y vérifient aussi les trois équations (9).

Substituons, en effet, ces valeurs dans les trois équations (9). D'après la proposition fondamentale, les premiers membres Af , Bn Cj de ces équations, mis à la place de a, [3, y dans le système (10), vérifient ce système. D'autre part, si l'on fait

t-2 ~ £3 = • • • = hi = ° j

a, (3, y se réduisent à a', [3', y' qui annulent An B(, C(. Ainsi, les A,,B{,C| constituent un système de solutions du système (10) pour lequel les valeurs initiales de AM B,, C|, c'est-à-dire les valeurs pour

h — t3 — . . .= tn = o

sont toutes nulles, quel que soit tt. Comme, d'après l'hypothèse, le système des équations (10) admet une solution, et une seule, correspondant à des valeurs initiales données de a, [3, y, il est clair que, si les valeurs initiales Al5 B,, C, de a, [3, y sont nulles, elles demeurent nulles lorsque £2, t3, ..., tn varieront d'une manière quelconque, la solution fournie par des valeurs nulles des incon-

nues étant alors la solution unique du système. Les équations (9) seront donc vérifiées pour toutes les valeurs des variables indépendantes, et la proposition que nous avions en vue est ainsi complètement démontrée : Il y a toujours un système, et un système unique, de valeurs de a, (3, y vérifiant les équations (1) et admettant des valeurs initiales données.

•42. H y a donc une infinité de systèmes différents de solutions des équations proposées, et la solution la plus générale dépend, on le voit, de trois constantes arbitraires. D'autre part, si a, [i, y; a,, (3), y4, désignent deux systèmes différents de solutions, les expressions

a2+P2+Y2, acti-+- PPi-t-YYi» af + Pi + ïi

demeureront constantes pour toutes les valeurs des £,-; la démonstration se fait ici comme dans le cas d'une seule variable. Par suite, si nous prenons trois systèmes différents de solutions «, 6, c;a', b', c';a", b" ', c" dont les valeurs initiales soient les neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre trirectangle (T0) par rapport aux axes fixes, on aura, pour toutes les valeurs des tt, des relations telles que les suivantes :

«2 -+- 62 -+- c2 = 1 , aa'-+- bb' -\- ce' = o;

et nos trois systèmes de solutions définiront, pourtoutes les valeurs des ti, la position d'un trièdre mobile pour lequel les rotations partielles seront précisément les quantités p^ qi, ri et dont la position initiale sera le trièdre (T0).

Ici encore, comme dans le cas d'une seule variable, toutes les solutions que l'on peut obtenir se déduisent de l'une d'elles par un simple changement de coordonnées. On a toujours le même déplacement, mais rapporté à des axes différents.

43. Après avoir traité le cas où le système mobile a un point fixe, il nous reste à examiner celui où le trièdre (T)se meut d'une manière quelconque dans l'espace ; alors il faudra joindre aux rotations partielles un nombre égal de translations. Nous désignerons par £,-, yji, Ç,- les composantes de la vitesse de l'origine des

axes mobiles relativement à ces axes, lorsque avarie seule. Si l'on désigne par X0, Y0, Z0 les coordonnées de cette origine relativement aux axes iixes, on aura

-T7- = a li-+- b îjf + c Ç,-,

I Otj

(11) < -TT- = « &■-+- » ,n/+c tj,

pour les valeurs î, 2,..., ndei. Egalons les deux valeurs des déri-

, -, (}2Xn d~Y0 d-Zn u 1.1" 1

vees secondes- — — > t — — j - — — que Ion peut déduire de ces dlidtfc dtidtk dttdtk ^ r

formules. Après avoir remplacé les dérivées des cosinus par leurs valeurs, nous obtiendrons des équations qui, devant avoir lieu quand on y remplacera a, /j, c par a', &', c', puis par a", b" , c", se décomposeront dans les trois suivantes :

/ fil d*k y y

('*) < — - — = rt h - rh U -ptb + pkïi,

I àlj dlJc

\ Otj. ~~ 7777 ~PW*—PMl— ?/Ç*H- ÇkV-

Réciproquement, lorsque les quantités £/, ru-, Ç,-, p/, g/, 77 satisfont à ces équations en même temps qu'aux équations (5), il existera un déplacement, et un seul, dans lequel elles seront les translations et les rotations partielles. Car nous savons déjà comment on pourra déterminer les neuf cosinus; et, de plus, les équations (11), qui seront compatibles en vertu des relations (12), nous fourniront, par les quadratures de trois différentielles à n variables indépendantes, les coordonnées de l'origine des axes mobiles. Il est inutile de répéter ici le raisonnement par lequel nous avons démontré que tous les mouvements obtenus se ramènent au fond à un seul, observé par rapporta des axes différents.

On démontrera comme précédemment que, si l'on suppose que les ti deviennent fonctions d'une même variable t, les rotations et les translations relatives au déplacement correspondant auront pour

-■>. LIVRE I. — CIIAP. V.

expressions

et les projections sur les axes mobiles du déplacement infiniment petit d'un point dont les coordonnées relatives aux axes mobiles sont x, y, z auront pour expression

1DX = dx -+■ S \t dt Dr= dy-hZr^dt D- = dz -h 21/ dt

ÇLqi.dti)z — (2ridt!)y, {S.ridti)x — {ïpidti)z,

44. Ces dernières formules nous conduisent même à une méthode originale, inspirée des travaux d'Olinde Rodrigues, pour obtenir les conditions d'intégrabilité (5) et (12) à l'aide d'un même raisonnement.

S'il existe en effet un déplacement pour lequel £/, •/),, Ç/, p^ qt, j'i soient les translations et les rotations partielles, tout point fixe de l'espace aura des coordonnées relatives au trièdre (T) qui devront annuler Dx, Dr, D- pour toutes les valeurs données aux différentielles^/. Ces coordonnées relatives devront donc satisfaire aux équations

et ces équations aux dérivées partielles devront même admettre des intégrales x, y, z qui prendront des valeurs données quelconques lorsqu'on y fera

t% = h = . . . = tn = o.

En écrivant les conditions d'intégrabilité, par exemple en égalant les deux valeurs obtenues pour - — — , on retrouve des

° l OtiOtk

l dx

-+- qiz

— ny = 0,

-t- rtx

— ptz = 0,

\ àt{

^-piy

— qix — 0 ;

équations lelles que la suivante :

dh àh y y ,

dTT ~ 1ht ~ *'Ç*+ 9t^t+ ru,*- r,^, fdqi dq k

(àrt dr,c \

-r\dTk-Wl->-pk<Ji-piqk) = 0>

qui, devant avoir lieu quels que soient y, z, donnera trois des relations (5) et (12). Les autres s'obtiendront par des permutations circulaires.

Celte nouvelle méthode de démonstration se suffit à elle-même, sans qu'il soit nécessaire de faire appel à des axes fixes. Car, en vertu des conditions d'intégrabilité, les équations linéaires (i5) admettront une solution générale de la forme

!x — x' -s- ax0 -+- a'yo •+■ ci" z^, y=y*-*-bxt + b'y0-+-b"z0, . z = z'-h cx0 -+- c'y0 ■+■ c"zn,

où x0, y$i s0 seront les constantes arbitraires, par exemple, les valeurs initiales de se, y, z; et il est très facile de démontrer que tous les points correspondant aux diverses valeurs de x0, y0, z0 forment un solide invariable. Il suffit de remarquer que, pour deux quelconques d'entre eux, de coordonnées x,y, z et x{, ),, zt, correspondant à des valeurs initiales différentes, la différentielle du carré de la distance

(x — xt )» -+- (y — JKl )2 -h (z — Zy )»

est égale à zéro, en vertu des équations différentielles (i5).

Nous terminerons ce Chapitre en remarquant que les relations différentielles entre les translations seraient encore vérifiées si l'on y remplaçait les £/, r^-, Çt- par les composantes

dx y dy dz

Wt + h+ gt* - ny, -£ + 1,,+ nx-ptz, ^ + U+Pty - qt* de la vitesse d'un point quelconque avant x, y, z comme coor-