CHAPITRE XI

Représentation conforme des aires planes 5oo

Énoncé du problème à résoudre : faire la représentation conforme d'une aire plane à connexion simple sur une autre aire donnée de même connexion. On peut ramener ce problème au suivant : effectuer la représentation conforme d'une aire donnée (A) sur l'aire d'un cercle de rayon donné, choisi une fois pour toutes. On rappelle les résultats acquis sur ce sujet par les très nombreuses recherches que, depuis Riemann, les géomètres ont consacrées à cette étude, aussi importante pour l'Analyse que pour la Physique mathématique. — Le problème est ramené à la recherche d'une fonction de la variable complexe qui satisfait à des conditions bien déterminées dans l'intérieur de l'aire (A). Application à la portion de l'aire du plan qui se trouve au-dessus de l'axe des x. — Principe posé par M. Schwarz pour résoudre les problèmes de représentation conforme auxquels on a été conduit clans le Chapitre précédent. — Application de ce principe aux aires limitées par des droites. — Cas particulier du triangle et du rectangle. — Des aires limitées par des arcs de cercle. On est conduit à intégrer une équation linéaire dont les coefficients sont connus. — Cas particulier du triangle formé par trois arcs de cercle. — Projection stéréographique du triangle formé par trois arcs de grand cercle de la sphère. Représentation conforme, due à M. Schwarz, d'une aire elliptique sur une aire circulaire.

6l8 TABLE DES MATIERES.