CHAPITRE VI

INTÉGRATION SIMULTANÉE DES SYSTÈMES LINÉAIRES RENCONTRÉS DANS LA THÉORIE PRÉCÉDENTE,

Considérations générales sur le système linéaire fondamental auquel satisfont les trois groupes de cosinus, a. b, c, a', b', c', a", b", c". Il se compose de n groupes de trois équations, le groupe de rang i faisant connaître les dérivées des trois inconnues par rapport à la seule variable tr — Si l'on sait intégrer complètement les équations faisant partie de p groupes, la solution du problème pourra se ramener à celle d'un problème identique dans lequel le nombre des variables indépendantes sera diminué de p. — Si l'on connaît seulement une solution particulière des équations faisant partie de p groupes, il sera possible, sauf dans un cas exceptionnel, d'obtenir sans quadrature l'intégrale complète de ces équations et, par suite, d'appliquer la proposition précédente. Le cas exceptionnel auquel on vient de faire allusion ne peut se présenter que si les rotations partielles sont imaginaires et si la solution particulière satisfait à l'équation a1 -+- p2,-t- y2 — o ; d'ailleurs quand il se présente, on peut, par de simples quadratures, obtenir la solution complète et générale du problème.

Remplacement des équations linéaires par un groupe d'équations simultanées de Riccati auxquelles doit satisfaire une variable unique. Étude des solutions communes à deux équations simultanées de Riccati. — Cas particulier où la somme a2-!- P2-4- y2 est nulle. On est ramené à un système linéaire ne contenant que deux fonctions inconnues. Une solution particulière de ce système suffit à donner, par une quadrature unique, la solution générale du problème proposé.

45. Après avoir reconnu l'existence de solutions communes à toutes les équations

(1) { Bt= -± ■— fpi-+- an = o, (i = 1, 2, ..., n),

G/ = -£■ —aqi-h $Pi= o,

solutions dépendant de trois constantes arbitraires, nous allons indiquer les méthodes propres à faciliter leur détermination. Nous rappellerons qu'en vertu des conditions (5) du Chapitre précédent,

les A/, B/, C< satisfont aux identités

l tt B/ /•/.- -h C ,-?/.• = — BA. rt ;-+- C/, ?,-,

I Vf/,' "';'

I ^ ~ A^A' + BiPA= lu "" A**l+ BAjP"

dont nous avons déjà signalé toute l'importance.

Nous allons d'abord montrer que, sil'on sait complètement intégrer quelques-uns des systèmes (1), par exemple ceux qui correspondent aux valeurs 1 , 2, . . ., k de i, l'intégration complète du système sera ramenée à celle des équations restantes

où l'on aura donné à £,, t.2, ..., t^ des valeurs arbitraires quelconques, zéro par exemple.

Proposons-nous, en effet, de déterminer cette solution unique du système (1), dont nous avons démontré l'existence, et pour laquelle a, (3, y doivent se réduire à des constantes données a0, (30, Yo lorsque tous les ti prennent leur valeur initiale, zéro par exemple.

Puisque nous savons intégrer, par hypothèse, les équations

( 4 ) Ai = o, B, = o, G/ = o (i = 1 , 2, , k),

nous pourrons déterminer celle de leurs solutions pour laquelle a, [3, y se réduiront à des fonctions données a', [3', y' de £*+, , . . ., tn lorsqu'on y fera tK = t2 = . • • = tu = o.

Le problème se trouve donc ramené à la détermination de ces fonctions a', (3', y'.

Or, elles doivent évidemment vérifier les équations (3) où l'on aura fait

tt — £2 = . . . = t k = o

et se réduire à a0, [i0, y0 lorsque les variables t/f+\ , ..., tn deviendront nulles à leur tour. Cette double condition les détermine sans ambiguïté.

Tout se réduit donc à l'intégration du système (3) dans les conditions indiquées.

La proposition précédente est très précieuse parce qu'elle montre

que l'intégration de tout groupe d'équations

compris dans le groupe général, non seulement permet de faire un pas vers la solution du problème, mais de plus permet de réduire d'une unité le nombre des variables sans changer la structure des équations.

Si, par exemple, on sait intégrer isolément chacun des systèmes précédents, on saura, sans nouvelle intégration, obtenir leur intégrale commune.

46. Supposons maintenant qu'au lieu de savoir intégrer le système des 3k équations (4), on en connaisse seulement une solution particulière

a = ai, (3 = P-j, y = yi.

En portant ces valeurs de a, (3, y dans les équations restantes, on obtiendra des fonctions A#+£, B#+^, C*+a qui, nous venons de le voir, fourniront de nouvelles solutions particulières du système (4). Ces nouvelles solutions, jointes à celles que l'on connaît déjà, permettront, nous le savons (n° 14), d'intégrer complètement, et sans quadrature, tous les systèmes

A,= o, B;=o, Ci—o (i = r, 2, . . ., /-)

et, par conséquent, d'obtenir l'intégrale générale du système (4). Nous serons donc ramenés à l'hypothèse que nous avons envisagée plus haut.

On peut, à la vérité, faire une objection au raisonnement précédent. Les nouvelles solutions A/r+/^, B/i+h, Ck+h peuvent ne différer des premières a, [3, y que par un facteur XJk+h qui dépendra seulement de £/f+i, ..., tn. Alors, au regard du système (4) et de ses variables indépendantes, les nouvelles solutions ne peuvent pas être considérées comme distinctes des anciennes et, par suite, ne sauraient contribuer à la formation de l'intégrale générale du groupe des équations (4). JNolre raisonnement serait donc en défaut dans ce cas particulier. Examinons s'il pourra se présenter.

On a identiquement

*i k-k+h -+- p, B/c+/l -+- yi G/1+/t

= ai ^ + Pl 57^ -*- ■'. ^ - IJf^y + Pï + Ta>-

Or, comme les différents groupes d'équations (i) admettent

l'intégrale