P2-+- y2= const

on peut toujours supposer que l'on a soit

a| -+- pf -+- y» = o, soit

■i + Pï + Yï = »■

Si cette dernière relation n'avait pas lieu, on pourrait l'obtenir en multipliant a, (3, y par un facteur indépendant de £,, £2, •••■> tfn ce qui est permis.

11 vient donc, dans l'une ou l'autre hypothèse,

a, k,c+n -+- pi B/,+/t -+- Yi C/,+/i = o ou encore

U*+A(af -l- Pf -4-Yi) = °-

Ainsi, le raisonnement précédent ne peut être infirmé que si les solutions a,, (3,, y, vérifient toutes les équations du système (3), ce qui est contraire à l'hypothèse, ou si l'on a

aî + Pî + Y? = °-

On sait que, dans ce cas, et si les rotations pi, qi, ri son des fonctions réelles de t, on obtient non plus un système, mais deux systèmes de solutions particulières pour les équations (4) en prenant les parties réelles et les parties imaginaires de a, [3, y. On aura donc alors, et sans calcul, l'intégrale générale du système (4)- L'objection que nous avons formulée n'est donc valable que si les rotations sont des fonctions imaginaires des paramètres. Nous allons néanmoins l'examiner.

On doit alors avoir, pour toutes les valeurs positives î, 2, ..., n — k, de A,

les \J/t+h ne dépendant pas de tl: t.2, . . ., th-

Remplaçons, dans la première des identités (2) par exemple, i par k -+- h et k par k -+- h'. Nous aurons

àUk+h , TT TT àV/c+h'

vt/c+h' vtfc+li

ou plus simplement

ai t ; = °-

\ àtk+h' àtk+w 1

Les autres identités (2) donneraient un résultat analogue où a, serait remplacé par ^ et par y, . On a donc nécessairement

dU/,+/i àV>,c+h'

et les Uk+k seront les dérivées d'une même fonction qui ne dépendra pas de £t, t2, . . -, t/(. On peut donc poser

TI - l dY

V dtk+h

V ne dépendant pas des variables ?,, . . ., £#, et se déterminant par une simple quadrature.

D'après cela, si l'on substitue à la solution a,, |34, y, du système (4) la nouvelle solution Va,, V(3l5 Vyt du même système, ce qui est permis, puisque V est une constante au regard des variables indépendantes de ce système, on verra aisément que les nouvelles valeurs de A^+^, B/^+^, C/t+h sont toutes nulles. Ainsi, on aura obtenu un système de solutions particulières de tout le système. On sait qu'alors des quadratures permettent de déterminer l'intégrale générale de tout groupe d'équations

Ai= o, B;= o, G,= o

et, par suite, en vertu des propositions précédentes, celle du système (1) tout entier.

En résumé, on peut dire que, si l'on connaît une solution particulière d'un des systèmes

A, •= o, B,= o, Cj= o compris dans les équations (1), ou bien on pourra intégrer com-

8o LIVRE I. — CHAP. Vr.

plètement ce système et réduire le problème à un autre qui lui sera identique, mais dans lequel le nombre des variables sera diminué d'une unité; ou bien on aura, par des quadratures, une solution particulière de tout le système (i); et d'autres quadratures permettront alors d'en obtenir l'intégrale générale.

47. On peut formuler des indications plus précises sur les opérations à effectuer, si l'on fait les changements de variables indiqués déjà aux Chapitres II et III.

Supposons d'abord que l'on recherche les systèmes de solutions pour lesquels la somme constante a2+ 3- + y2 n'est pas nulle. On pourra poser

( 5 ) < i — xy . i-f- xv x -4- y

et x, y devront vérifier les équations de Riccati

tc,\ da .-- . , q'k—ipk , y*H-»>*,

( o) = — 1/7,-ff -\ \- !X ,

v ! dtk 2 1 '

où k prendra les n valeurs i , 2, . . ., n.

Ces équations sont évidemment compatibles et devront admettre une suite infinie de solutions communes, comme celles d'où elles dérivent.

On voit que nous sommes ramenés à un problème d'analyse, qui se présentera d'ailleurs dans un grand nombre de recherches géométriques et qui, dans Je cas le plus simple, peut s'énoncer comme il suit : étudier l'intégration simultanée de deux équations de la forme

da .

— = a +20Î+CT2,

, ou

-r- = ai -t- 2 b\ a -+- Ci t2.

Il est aisé de montrer tout d'abord que ces équations peuvent avoir trois solutions particulières communes et que, si elles en ont trois, elles en ont une infinité. On peut, en effet, déterminer les coefficients inconnus «, 6, cou«,, 6(, c{ de chaque équation par la condition qu'elle admette trois solutions particulières a-,, <i2, a3,

INTEGRATION SIMULTANEE DES SYSTEMES LINEAIRES. 8l

données à l'avance. Mais alors la propriété relative au rapport anharraonique nous montre immédiatement que les deux équations auront en commun une infinité de solutions. En effet, en vertu de la première, le rapport anharmonique

<T ■ — (Tç ^l ^2

a — cr3 ci] — cr3

formé avec la solution générale <r et les trois solutions particulières, ne doit pas dépendre de u; en vertu de la seconde, il ne doit pas dépendre de v. Il sera donc à la fois suffisant et nécessaire que

l'on ait

a — <t.;> <Ti — s*)

: = const.

pour que a soit une solution commune aux deux équations. Ainsi, les deux équations peuvent avoir une infinité de solutions communes.

Nous allons chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il en soit ainsi.

Reprenons les équations simultanées

I à<s \ ou

f — = ai-H 201CT-f- C^2,

\ dv

où a, b, c, <?<, 6(, C| sont des fonctions données de u et de v. En égalant les deux valeurs de - — — qu'on peut déduire de ces équations, on sera conduit à la relation

da dai / db àb\\ .-, ( de <^ci

dv du \dv du ] \dv du

+ 2fca + è)( «1-H26i(7-4-c1 a2) — 2(c1a-}-61)(a-!-2Ô<T4-c<T2)=o,

qui est du second degré par rapport à <r.

Si elle n'a pas lieu identiquement, elle fournira deux valeurs particulières de <j, qui pourront être des solutions particulières du système (8). Mais si l'on veut, comme dans le cas actuel, que les deux équations en <r aient une solution commune avec constante arbitraire, il faudra que les coefficients des différentes puissances D. - I. 6

de o- dans l'équation précédente soient nuls, ce qui donne

da da \

-f- iba, — i ab i = o, àv du ii,

db db\

(g) { - ■ H Crt,— ac, = o,

\ ov du

I de àci , ,

f h 2 CUx 2 OC{ = O.

\ ov du

Ainsi, les deux équations (8) auront au plus deux solutions particulières communes, à moins que les relations précédentes ne soient vérifiées, auquel cas elles auront une solution commune contenant une constante arbitraire.

Pour le démontrer, désignons par cr une solution quelconque de la première de ces équations, et posons

Oo) 6= <X\ — -îbity — Ci a2.

On a, d'ailleurs,

Différentions l'équation précédente par rapport à ç, l'équation (10) par rapport à u, et retranchons les deux relations ainsi obtenues. Nous aurons, en tenant compte des identités (g), aussi bien que des deux équations précédentes,

du ce qui donne, par l'intégration,

•2 f (cG + b) du

(12) e = 8oec"»

90 désignant la valeur de 9 pour u = u0. Si donc 0 est nulle pour u = u0, elle le sera pour toutes les valeurs de u.

Ce point étant établi, faisons u = u^ dans la seconde des équations (8), et déterminons la fonction a-' de v qui satisfait à cette équation et se réduit à <70 pour v = u0. On aura donc

—— = ai -h -2 0,(7 -4- c, a ov

pour u = u0.

Considérons ensuite la première des équations (8), et déterminons la fonction <r qui satisfait à cette équation et se réduit à a-' pour u—u0. D'après ce que nous venons de démontrer, cette fonction <r satisfera aux deux équations; car la valeur de la fonction que nous avons désignée par 9, relative à la solution ainsi déterminée, est nulle pour u == u0, et, par conséquent, elle restera nulle pour toutes les valeurs de u. La fonction u qui satisfait aux deux équations contient, d'ailleurs, la constante arbitraire <r0.

Toutes les opérations que nous venons d'indiquer sont possibles, et n'exigent aucune quadrature, quand on sait intégrer séparément chacune des équations (8). Ainsi, l'on saura déterminer, sans intégration, la solution commune aux deux équations quand on aura obtenu l'intégrale de chacune d'elles.

48. Nous allons maintenant démontrer quelques propositions qui rendent plus facile l'intégration simultanée des équations (8).

Supposons d'abord que l'on connaisse une solution commune de ces deux équations <7 = x. En posant

on sera ramené à deux équations linéaires de Ja forme

= P oj + Q, ou

et la valeur générale de co s'obtiendra par la formule

(i3) tù = eJ jeJ (Qdu + Qidv),

qui ne contient, comme on s'en assure aisément, que des différentielles exactes.

Il est inutile de s'arrêter au cas où l'on aurait deux ou trois solutions communes des deux équations de Riccati; la méthode que nous avons suivie au n° 17 s'appliquera sans modification; mais il convient d'examiner l'hypothèse où l'on aurait, pour l'une des équations, une solution particulière ne satisfaisant pas à Vautre.

Aux résultats déjà établis, on peut alors ajouter le suivant : On peut déterminer, sans aucune quadrature, l'intégrale générale de celle des équations dont on connaît une solution particulière. Soit, par exemple, x une valeur de a satisfaisant à la première équation, et non à la seconde. Posons

Si nous portons cette valeur de a- dans la première équation (8), elle deviendra

= — 2(6 -+- CX)tx> — c.

Introduisons la fonction 8, définie par l'équation (io) où l'on remplace o- par x, et qui, d'après la formule (il), vérifie l'équation

ôO

— = 2(6 -t- rx)Q.

L'équation à laquelle satisfait co pourra être mise sous la forme suivante :

Or, un calcul facile conduit à l'identité

c0= — fcar+o) (ci:r 4- 6i ) = — — c,x — o,

dv ' du du \2 dv

En substituant la valeur de c9 dans l'équation (i4)> nous trouvons

d / „ i dloaO \

Ci37 0| I = O,

et, en intégrant, nous trouvons

/ r-, a 6 , i dloerG ,

(i5) u>8 = — CiX-Jr-bi p- + C,

C désignant la constante arbitraire, qui peut être une fonction de v. La formule qui fait connaître l'intégrale générale de la première équation ne contient, comme nous l'avons annoncé, aucun signe de quadrature.

La proposition établie en dernier lieu, jointe à celles qui pré-

cèdent, nous permet de conclure que, si l'on connaît, pour chacune des deux équations (8), une solution particulière ne satisfaisant pas à l'autre, il sera possible d'obtenir sans aucune quadrature les solutions générales de ces équations, et par conséquent aussi leurs solutions communes.

49. Nous montrerons, en terminant, comment on peut, en s'appuyant sur ce dernier résultat, former différentes équations différentielles dont l'intégration entraînerait celle du système (8), sans quadrature.

Ajoutons les équations (8), après les avoir multipliées par du et dv respectivement. Nous aurons

de — (a du -+- aj dv) — i(b du -+- bv dv)a — (c du -+- Ci dv)i2 = o.

Envisageons maintenant les deux équations différentielles que nous formerons en remplaçant <y successivement par deux fonctions t,, <t2, choisies comme on le voudra,

( d$i — a du — #t dv — i{b du -+- b\ dv)<3\ — (c du -H C\ dv)a\ = o, I d<r.2 — a du — ai dv — i{b du -+- bx dv)<j% — (c du -+- Cj dv )<r| = o.

Supposons qu'on sache intégrer chacune de ces deux équations différentielles. Je dis qu'on saura alors intégrer, sans aucune quadrature, le système (8).

Soit, en effet,

<p(a, v) = ct

l'intégrale de la première équation (16) et

celle de la seconde équation. Faisons un changement de variables et substituons a, (3 à u et c. On aura, d'après la définition même de a et de (3,

t, du dv /, du , àv\ I du dv \

~dj

do-, du dv ! t du 7 dv\ (du dv\ ,

da da da \ dx . da / V àa dz. /

Vj.

86 LIVRE I. — CIIAP. VI.

Quant au système (8), il prendra la forme

,' da du dv [ , du , dv \

SB^dp^^Sp + H 5P+ i5pr +

I Ors du dv 1 1 du , dv

\ c'a c'a c'a \ aa wa

Les équations (17) expriment que a-,, <r2 sont, respectivement, solutions particulières de la première et de la seconde équation (18); par conséquent, d'après ce que nous avons démontré, on pourra intégrer complètement le système (18), équivalent au système (8).

50. Les propositions que nous venons d'établir pour deux équations simultanées de Riccati s'étendent d'elles-mêmes au groupe des n équations (6), et nous pouvons énoncer les propositions suivantes, que les raisonnements précédents nous dispensent de démontrer :

Si l'on connaît une solution commune x des équations simultanées, en posant

on sera conduit à n équations linéaires en 10 dont l'intégration complète et simultanée exigera deux quadratures portant sur des différentielles de n variables.

Si l'on connaît une solution particulière de k d'entre elles seulement, par exemple des k premières, on pourra, sans aucune quadrature, obtenir l'intégrale complète de ces k équations et le problème sera ramené à l'intégration des équations restantes, où l'on pourra donner une valeur arbitraire aux inconnues tt , t2j . . ., tk.

51. Des conclusions analogues s'appliquent au système des équations linéaires simultanées qui déterminent les solutions du système (1) pour lesquelles on a

Si l'on pose, comme au n° 28,

INTEGRATION SIMULTANEE DES SYSTEMES LINEAIRES. 87

les variables u et v seront déterminées par les équations linéaires

simultanées

du ir/s q /,•-+- ipk

dv ir/c g/,- — ip/c

dtk 2 1

auxquelles le lecteur pourra appliquer les méthodes précédentes. En se rappelant les résultats donnés au n° 22, on reconnaîtra notamment que, si l'on a des solutions des équations (i) vérifiant la relation (19) et donnant, par conséquent, une solution. particulière des équations (20), une simple quadrature, portant sur une différentielle de n variables, fournira leur intégrale générale.