CHAPITRE VII
APPLICATION DE LA THEORIE PRECEDENTE AUX DEPLACEMENTS QUI DÉPENDENT DE DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES.
Les déplacements à deux variables indépendantes jouent un rôle particulièrement important dans la théorie des surfaces. Il convient de les étudier complètement. — Application des formules générales. — Etude des mouvements infiniment petits. Notion de la vis due à Bail. Il y a deux déplacements, réels ou imaginaires, qui se réduisent à des rotations. — Théorème de Schonemann et Mannheim qui permet de généraliser la notion du centre instantané et de construire les normales aux surfaces trajectoires de tous les points.
Etude de tous les déplacements infiniment petits qui peuvent se produire à partir d'une position donnée. Simplification des formules par un choix convenable des axes et des variables indépendantes. Les axes de tous les mouvements hélicoïdaux engendrent un conoïde que Pliicker a le premier étudié. Expression du pas des différentes vis. Construction géométrique des formules. Propriétés du conoïde de Pliicker : il est la seule surface réglée pour laquelle les projections d'un point de l'espace sur les génératrices rectilignes soient sur une courbe plane. Démonstration de cette proposition découverte par M. P. Appell. — Etude des relations qui existent entre le conoïde de Pliicker et le complexe des droites qui sont perpendiculaires à ses génératrices.
Etude spéciale du cas particulier, envisagé par Ribaucour, où deux des déplacements infiniment petits sont des rotations autour d'axes concourants. — Dans ce cas, tous les déplacements se réduisent à des rotations autour d'axes passant par un même point et situés dans le même plan. Le mouvement peut être obtenu par le roulement d'une surface sur une autre surface qui est applicable sur la première. — H y a alors un centre instantané de rotation, et les normales à toutes les surfaces trajectoires passent par un même point.
52. Nous allons maintenant étudier d'une manière plus complète les déplacements à deux variables qui jouent un rôle particulièrement important dans la théorie des surfaces. Pour simplifier les notations, nous désignerons ici par u et v les deux variables indépendantes. Les translations et les rotations
ïi rh £. p, q, r, \u 'il» X>u pu qu ri
se rapporteront respectivement au cas où u et v varient seules. En sorte que les formules (i4) (n° 43) qui donnent le déplacement infiniment petit deviendront ici
!DX= dx ■+- ( \ -4- q z — ry) du -4- ( £i-+- q^z — t\y) dv, D v = dy -f- (jt\ -+- r x — p z ) du -f- ( r, l -+- rt x — P\.z) dv, D- = dz -f- ( Ç -\-py — qx) du -+- (£, -\- P\y — q^x) dv.
On aura, entre les rotations et les translations, les relations différentielles
àp àpi
dv du
gn — rqu
àq dq{ \ ov ou
f àr drx
\ dv ou
5?-3jr=yÇi-Çyi-rih-Hi,r1,
dont nous ferons constamment usage.
A chaque valeur de -y correspond un déplacement infiniment
petit, qui est en général un mouvement hélicoïdal. L'axe de ce mouvement est défini par les équations
( ij-F g z — ry) du -+- ("jji-l- q\Z — rxy)dv p du -+-pi dv (r, -4- rx — pz) du -+- (t\^-\- rtx — p\z) dv q du -+- q{ dv
^ -+-P7 — qx)du-{-(Ç1-hp1y— q^x) dv __ r du -+- 7i afo
où Ton a
- „n (pdu^pldv)(tdu-+-^dv)-<r-(qdu-i-qidv)(rldu-hrlidv)-<-(rdu->r-r1dv){ldu-\-Zidv)
},) c/IL — z - '
(/? du -+-pi dv )'2-+- {q du -+- qi dv)--\- (r du -+- i\ dv y
Nous avons ainsi une infinité d'axes et de mouvements dont nous allons étudier les propriétés.
go LIVRE I. — CHAP. VII.
Rappelons que si l'on introduit la notion de vis due à Bail, les équations (4) définissent l'axe de la vis qui porte le mouvement hélicoïdal. L'équation (5) définit le pas de la vis, c'est-à-dire le pas réduit de tous les éléments d'hélice décrits par les différents points du corps. En d'autres termes, 011 est le rapport de la translation suivant l'axe du mouvement hélicoïdal à la rotation autour de cet axe. Suivant que ce rapport est positif ou négatif, la vis est dexlrorsum ou sinistroisum. S'il est nul, le mouvement se réduit à une rotation, dont l'axe est défini par les formules (4).
Si l'on écrit les équations d'une droite sous la forme pluckérienne
( «i+ 6^ — cy = o,
(G) | ii+ ca; — a^ = o,
f cy -+- ay — 6.r = o,
avec la condition nécessaire
(7) aa{ -+- bbi -f- ccy = o,
on voit qu'ici les six coordonnées a, b, c, a(, b{, c, de l'axe de la vis seront
a — p du -t- pi dv, b = q du -t- cji dv, c = r du -+- 1\ dv,
ai — % du -+- £, dv — DYi(p du -+- pi dv), ( o) \
by = 7] du H- T| ! dv — Oïl (g du -+- qidv),
ct = Ç du -t- L\.dv — Oïl ( /• du -+- i\ dv), Oïl ayant la valeur définie par l'équation (5).
53. Celte valeur de OÏL se présente sous la forme du quolientde deux formes quadratiques de différentielles, qui sont évidemment indépendantes du choix des axes et du choix des variables indépendantes. L'une, le dénominateur, divisée par dl2, donnerait évidemment la vitesse de rotation dans le mouvement infiniment petit correspondant. Elle est définie positive. Quant au numérateur, nous ne pouvons rien affirmer à son sujet, dans le cas des mouvements réels. Si on l'égale à zéro, on obtient en général deux
valeurs distinctes de -7- qui annulent Oit et pour lesquelles le
mouvement se réduit à une rotation infiniment petite.
APPLICATION DE LA THÉORIE PRECEDENTE. t) I
Il y a donc, en général, deux déplacements, réels ou imaginaires, qui se réduisent à des rotations.
Les valeurs de -T- qui correspondent à ces déplacements sont déterminées par l'équation
(pdu-+-p1dv)(£du-hi;i dv) -+- (q du ■+■ q \ dv)(i]du-\-riidv)-h(rdu-j-7\dv)(illdu-\- 1\ dv) = o
et l'axe de rotation sera défini par les formules
Î\ du -+- £1 dv -\--(q du -+- qx dv)z — ( r du -+- >%i dv)j = o, 7] du -+- r,! dv -h ( /• du -+- i\ dv)x — (p du -+- pi dv) z = o, Ç du -+• Çj dv -+- (p du -+- pt dv)y — (q du -+- qx dv)x = o,
où l'on remplacera -r par la racine de l'équation (5) correspondant au déplacement considéré.
Le résultat précédent a une conséquence importante. Dans le cas qui nous occupe, tous les points du système invariable décrivent évidemment des surfaces. Puisque deux des mouvements se réduisent à des rotations autour de deux droites, que nous appellerons D, A, la normale à la surface décrite par un point quelconque du système invariable devra rencontrer chacune de ces droites ; car cette normale, étant perpendiculaire à tousles déplacements du point considéré, doit l'être en particulier à ceux que prend le point dans les rotations et, par conséquent, doit rencontrer nécessairement les axes de ces rotations.
Ce beau théorème a été donné en 1 855 par Schonemann, dans un Article présenté par Steiner à l'Académie de Berlin (Monatsberichte, i855). Il a été retrouvé i i ans après, par M. Mannheim (Journal de Liouville, t. XT, 2e série) qui, sans connaître les recherches de son prédécesseur, l'a soumis à une étude approfondie. Il donne évidemment une généralisation de la propriété relative au centre instantané dans l'étude des mouvements plans et permet de construire les plans tangents aux surfaces décrites par les différents points d'un système invariable, dès que l'on connaît les plans tangents aux surfaces décrites par quatre points particuliers. Soient en effet A( , A2, A3, A4 quatre points dont on connaît les surfaces trajectoires : Les deux droites D, A devront rencontrer les normales à ces surfaces aux quatre points A,, A2, A3, A4 et seront,
en général, déterminées par celte condition. Une fois connues les droites D, A, le problème sera résolu pour un point quelconque.
On reconnaîtra de même que, si une surface invariablement liée au corps mobile est entraînée dans son mouvement, elle touchera son enveloppe aux points pour lesquels sa normale rencontre D, A; que, si une courbe est entraînée dans le mouvement du solide invariable, elle touchera les nappes de la surface focale de la congruence engendrée par son déplacement aux points où l'une de ses normales va rencontrer les deux droites D, A, dont l'ensemble, on le voit, joue bien le rôle du centre instantané.
Quelque élégantes qu'elles soient, les constructions géométriques précédentes ont le défaut de ne pouvoir s'appliquer si les deux droites D, A deviennent imaginaires ou si elles se confondent. Elles ont, dans tous les cas, l'inconvénient d'exiger la détermination des deux rotations, ce qui entraîne la résolution d'une équation quadratique, alors que la détermination du plan tangent des surfaces trajectoires doit s'obtenir par des opérations purement linéaires. Nous laisserons au lecteur le soin d'approfondir ce sujet etnous allons poursuivre l'étude des relations entre les mouvements hélicoïdaux qui correspondent aux diverses valeurs de —r- •
54. Reprenons les deux formes quadratiques de différentielles
[ ©rf= (£ du-+- ^idv)(p du-+-pi dv) (u) | -t- (ï) du -+-Tf)i dv)(q du-{- qt dv)-+- (^du -t-Çt dv)(rdu-\- r^ dv),
f Qd= (p du -t-/?i dv)^-{- (q du -+- qt dv)*-{- (r du -+- rt flfo)2,
qui figurent dans l'expression de DÏL. Puisque la seconde est définie
positive, il sera possible, on le sait, de les ramener à deux sommes
ne contenant que les carrés de deux fonctions linéaires, réelles et
distinctes,
h du -+- k dv, Ai du -\- A~i dv.
Un changement de variables pouvant ramener ces deux fonctions linéaires à la forme plus simple
X du' , fj. dv' ,
on voit qu'il sera toujours permis de supposer que les deux formes (i i) aient été, l'une et l'autre, débarrassées du terme
APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. g3
endudv. On aura alors
i ppi-+- qq\ •+- ?7'i = o,
I P$i-J<-ÇPi-Jt-(lrii "+- r,?|-+- Cri+ '"vi= o.
Toutes les fois que deux mouvements (£, 7), Ç,/>,^, 7'), (£,, ?],, Ci, /?i, ^{, /"() satisfont aux relations précédentes, il est facile de voir, en employant les formules (8) qui donnent les coordonnées de leurs axes, que ces axes se rencontrent et sont rectangulaires. Nous dirons alors avec J. Petersen qu'ils sont en ortho-involution. Ainsi, ici les deux mouvements composants qui correspondent à des valeurs nulles de du ou de dv sont en ortho-involulion. Pour chaque système particulier de valeurs de u et de p, on peut poursuivre la simplification. Par exemple, en multipliant m et epar des constantes convenablement choisies, on peut faire en sorte que l'on ait
Si l'on pose alors
(i4) Pl-+-qt\ -w£ = 2a, /»i|i-Hg'i7ii-Hr1Ç1 = 2(3,
la valeur de Oit deviendra
a afo2 -+- p cfo2
(i5) OlO
âfa2 -fe- û(p2
et l'on voit qu'elle variera entre les limites extrêmes a et [3. Le maximum et le minimum de OÏL correspondent donc à ces mouvements qui sont en ortho-involution et que l'on obtient en annulant soit du, soit dv. Nous avons vu que leurs axes se coupent à angle droit. Prenons les bissectrices de ces deux droites pour axes des x et des y. Cette hypothèse entraîne les simplifications suivantes.
L'axe de la vis qui correspond à l'hypothèse où u varie seule a pour coordonnées pluckériennes
Ses équations seront donc
£ — ap-hqz — ry = b,
ri — ■xq -+- rx — p z = o, t — a r -t- p y — qx = o.
94 LIVRE I. CllAI'. VU.
Pour qu'elles représentent la droite
s = o, y = se,
il faut qu'on ait
Par suite, en tenant compte de la relation (i3), on pourra prendre y? = [ , ^ = i , /' = o, £ = a, Y) = a", Ç = o.
Un calcul analogue donnera, pour le second axe,
Pi = i, q\ = — i, /'i = o, ëi=Pi ii = — P, ?i = o.
Vvec ces différentes valeurs, les équations (4) qui définissent l'axe du mouvement hélicoïdal deviendront
( ( x — (3 ) du dv — z ( du- -+- dv'1 ) = o, ( 1 6 ) <
I (a? — )') du — (x-\-y)dv = o.
Ces formules si simples, jointes à l'équation (i5), permettent une discussion complète.
55. Les axes des mouvements hélicoïdaux rencontrent tous une même droite, l'axe des s, et lui sont normaux.
Pour définir la surface conoïde qu'ils engendrent, posons
a — P = aA,
on aura
, a?2 — yz = h— — '—■,
nn'l . i - v2
