XY

Olu = £■-+- %

Le conoïde lieu des axes a été appelé cylindroïde par les géomètres anglais, nous verrons pourquoi ; il porte aussi le nom de conoïde de Pliicker, du nom du grand géomètre qui l'a étudié le premier et en a donné les principales propriétés. Son étude présente un vif intérêt.

Avant de la commencer, nous expliquerons pourquoi la valeur de D\L contient une constante g qui ne figure pas dans l'équation du conoïde.

Si, dans les formules (4) et (5), on remplace £, y\, Ç, £,,rM,Ç,

respectivement par £ — kp, r\ — Aq, Ç — Ar, £i — A/?, , 7,| — Ay7( , Ç, — A/*i , sans rien changer aux rotations, les équations de l'axe du mouvement hélicoïdal qui correspond à un système donné de valeurs de du et de dv ne sont pas changées; mais OÏL doit être remplacé par D1L — A. Ainsi, on peut conserver les axes de tous les mouvements hélicoïdaux en diminuant d'une quantité arbitraire, choisie à volonté, les pas de toutes les vis auxquelles ils servent de support. Nous ferons plus loin usage de cette remarque; elle explique dès à présent pourquoi l'expression de 0)1 contient une constante qui ne figure pas dans l'équation du conoïde.

06. La forme de cette surface est facile à étudier. Le conoïde s'étend entre les deux plans

Il admet deux plans de symétrie : le plan des xz et le plan âesyz. Il admet aussi deux axes de symétrie : les deux bissectrices des axes des x et des y, qui sont d'ailleurs deux de ses génératrices. L'axe des z est une ligne double du conoïde; car il est coupé suivant deux génératrices réelles par tout plan parallèle au plan des xy, mené à une distance de ce plan inférieure à Ji en valeur absolue.

Gomme le conoïde est du troisième degré, tout plan passant par une génératrice rectiligne le coupe en outre suivant une conique. Par suite, il contient une double infinité de coniques. Cette propriété le rapproche de la surface de Steiner.

Comme le plan de l'infini coupe la surface suivant les trois

droites

z = o, y=±xi,

les coniques situées sur la surface doivent se projeter suivant un cercle, qui passera à l'origine; car toutes les coniques rencontrent nécessairement la ligne double formée par l'axe des z.

Réciproquement, tout cylindre ayant pour base un tel cercle et représenté par l'équation

(19) Xt-\-J--\-1%X-\--2^f=0

coupe le conoïde suivant une conique.

Multiplions, en effet, l'équation précédente par z. En tenant compte de l'équation du conoïde, nous aurons

( 20 ) h ( x- — j - ) -+- 2 a ces -+- 2 $yz — o.

Une combinaison linéaire de ces deux dernières équations nous donne

(*x + $y)[h(*x — p./) -+- («2-1- $*-)z -+- h(afi— $*)\ = o.

On peut négliger le premier facteur, qui correspond à deux droites fixes situées à l'infini. Le second facteur nous donne l'équation

(21) h(xx — $y) -+- (a*-+- $*)js -h h(aï — P2) = o;

elle représente un plan, qui passe par la génératrice du conoïde définie par les équations

Ce plan coupe le cylindre (19) suivant une des coniques situées sur le conoïde.

Ces coniques, en nombre doublement infini, qui se trouvent sur la surface, peuvent servir de directrices à ses génératrices rectilignes. Par exemple, le conoïde peut être engendré, et d'une infinité de manières, par une droite qui, rencontrant normalement une des génératrices rectilignes d'un cylindre droit, s'appuie sur une section plane de ce cylindre. Le lecteur vérifiera aisément que ce mode de génération n'a pas un degré trop grand de généralité et donne toujours la surface de Pliicker.

On peut aussi, évidemment, obtenir d'autres modes de génération, non plus avec des droites, mais avec des coniques variables. Nous allons voir que l'on peut même choisir des coniques qui demeurent invariables de forme dans leur déplacement. Cela nous conduira à signaler une propriété curieuse de tous les conoïdes droits.

57. Considérons un tel conoïde, ayant pour axe l'axe des g, et coupons-le par le cylindre (C) qui contient également cet axe et est défini, par exemple, par l'équation (19). Nous obtiendrons ainsi une section (S). Nous allons montrer que tous les

cylindres (C) de même rayon couperont le conoïde suivant des courbes qui seront toutes égales à (S).

On peut, en effet, imaginer que l'on obtienne tous ces cylindres en faisant rouler l'un d'eux sur le cylindre (C) de rayon double

qui a pour axe l'axe des z. On sait que, dans ce mouvement, tous les points du cylindre (0) décrivent des rayons de (C7), c'està-dire des normales de (C) qui viennent rencontrer normalement aussi l'axe des z. Celles de ces normales qui aboutissent aux points de la courbe (S), pour une position particulière de (G), sont précisément les génératrices du conoïde. Ainsi, quand le cylindre (C) roule intérieurement sur (G'), la courbe (S) engendre le conoïde proposé, ou tout au moins la portion de ce conoïde qui est intérieure à (G').

On voit donc que, si l'on coupe un conoïde droit par un cylindre de révolution contenant son axe, la courbe de section (S) peut, sans changer de forme, engendrer par son déplacement le conoïde proposé. Un point déterminé de (S) se meut sur une génératrice déterminée du conoïde; de sorte que le déplacement de (S) s'exécute parallèlement au plan directeur du conoïde.

Dans le cas d'un hélicoïde gauche à plan directeur, les courbes (S) sont des hélices qui sont des courbes d'égale pente de la surface et dont le pas est la moitié de celui des hélices qui coupent à angle droit toutes les génératrices rectilignes de la surface.

Dans le cas du conoïde de Plùcker, les courbes (S) sont, nous l'avons vu, des coniques. Le plan de chacune de ces coniques contient une génératrice du conoïde qui coupe l'axe des z au même point que la conique. On voit donc que le roulement du cylindre (G) amènera le plan de la conique variable à passer par les diverses génératrices rectilignes de la surface. On pourra donc, pour obtenir tous les modes de génération par une conique invariable de forme, supposer que, dans sa position initiale, Je plan de cette conique passe, par exemple, par la génératrice la plus haute

L'ellipse tangente à cette génératrice au point A, où elle coupe

<j8 LIVRE I. — CHAP. VII.

l'axe des z, a son petit axe dans le plan des xy; et les extrémités B, B' de ce petit axe sont placées symétriquement par rapport au plan des yz sur les deux génératrices du conoïde

qui se trouvent dans ce plan. On est ainsi conduit à la génération suivante du conoïde :

Soient A, A' les deux points de l'axe du conoïde par lesquels passent ses deux génératrices extrêmes, soient OB, OC les deux génératrices, nécessairement rectangulaires, qui sont dans le plan médian du conoïde. Construisons une conique quelconque ayant les extrémités de son petit axe sur OB, OC à la même distance de O et l'extrémité de son grand axe en A. On engendre le conoïde en déplaçant cette conique de telle manière que les extrémités de son petit axe restent sur OB, OC respectivement et qu'elle ne cesse de rencontrer l'axe A A' du conoïde ou encore, ce qui semblerait au premier abord impossible à réaliser, de telle manière que l'extrémité de son grand axe décrive la parallèle menée par A à la bissectrice extérieure de l'angle BOC.

On voit que toutes les coniques tracées sur le conoïde auront même distance focale.

58. La propriété générale des conoïdes droits que nous avons signalée nous conduit, par son interprétation, à une propriété nouvelle et caractéristique du conoïde de Pliïcker. Nous avons vu que tous les cylindres définis par l'équation

(•22) XX-Q-+- rrQ= #2-+- y2,

où les paramètres #0, y0 satisfont à la condition

xo +J"o — const.,

coupent le conoïde droit suivant des courbes (S) toutes égales. Il est très aisé de donner une construction géométrique des courbes (S). En effet, l'équation (22) exprime que le plan normal à la génératrice du conoïde au point (x, y, z) va passer par un point fixe de coordonnées (x0, y0), la troisième coordonnée étant arbitraire. Cela nous conduit donc à énoncer la proposition suivante :

Si l'on abaisse d'un point fixe des perpendiculaires sur les génératrices du conoïde, les pieds de ces perpendiculaires engendrent une courbe (S) qui demeure invariable de forme quand le point fixe reste à une distance invariable de l'axe du conoïde. Cette courbe se projette sur le plan directeur suivant un cercle.

Appliquée au conoïde de Plùcker, cette proposition nous montre que les projections d'un point fixe quelconque de l'espace sur les génératrices rectilignes sont des courbes planes.

Dans un Article inséré au Tome XXVIII du Bulletin de la Société mathématique de France, p. 261 , M. Appell a démontré que cette unique propriété caractérise le cylindroïde : Toute surface réglée pour laquelle le lieu des projections d'un point quelconque de l'espace sur les génératrices est une courbe plane est nécessairement un cylindre ou un conoïde de Pliicker.

Après M. Appell, MM. R. Bricard, A. Demoulin sont revenus sur le même sujet dans le Tome XXIX du Bulletin de la Société mathématique de France. Nous allons indiquer rapidement la démonstration de M. Bricard.

Si l'on prend les symétriques d'une figure quelconque (F) par rapport aux génératrices rectilignes d'une surface réglée, on a évidemment une figure (F') toujours égale à elle-même, mais qui se déplace d'une manière continue quand on emploie toutes les génératrices de la surface réglée. Les courbes décrites par les différents points de cette figure mobile sont évidemment les lieux des points symétriques d'un point fixe de l'espace par rapport à toutes les génératrices de la surface réglée. Or, celle de ces courbes qui dérive ainsi d'un point A de (F) est évidemment homothétique à la courbe lieu des projections de A sur les génératrices de la surface réglée. La question que nous avons à résoudre se ramène donc d'abord à celle-ci :

Y a-t-il un déplacement dans lequel tous les points de la figure invariable décrivent des courbes planes?

Celte question a été résolue depuis longtemps. On sait qu'en écartant le cas banal où le déplacement de la figure aurait lieu parallèlement à un plan fixe, le seul déplacement répondant à la question est défini par la proposition suivante :

Le déplacement est obtenu par le mouvement d'un cylindre de

LIVRIÎ I. — CIIAP. VII

révolution (C) qui roule intérieurement sur un cylindre de rayon double (C) et qui glisse en outre le long de la génératrice de contact de telle manière qu'un des points qui lui sont invariablement liés demeure dans un plan fixe (').

M. Bricard s'appuie sur cette proposition, et il remarque en outre que, le déplacement de la figure (F') ayant été obtenu par symétrie, le mouvement inverse du précédent doit être identique au mouvement direct, ce qui exige que les cylindres (G) et (G) soient de rayon nul et se réduisent à des droites coïncidentes.

Ainsi, le mouvement de la figure (F') ne peut être qu'un mouvement hélicoïdal autour d'un axe fixe Qz.

Cela nous suffit. Comme on passe d'une position de (F') à toute autre par deux symétries autour de deux génératrices de la surface réglée, comme un mouvement hélicoïdal ne peut être remplacé par deux symétries que si les axes de ces symétries rencontrent à angle droit l'axe du mouvement, on voit que la surface cherchée ne peut être qu'un conoïde droit.

La démonstration s'achève aisément. Puisque les courbes (S) que nous avons définies plus haut sont des courbes planes dont la projection sur le plan directeur est un cercle rencontrant l'axe, ce sont nécessairement des ellipses qui rencontrent l'axe; et le conoïde cherché est engendré par une droite qui coupe à angle droit une génératrice rectiligne d'un cylindre de révolution et s'appuie sur une section plane de cetie surface. C'est la génération que nous avons donnée plus haut pour le conoïde de Plucker.

Si nous avions envisagé le cas banal où le mouvement de (F') se fait parallèlement à un plan fixe, nous aurions obtenu comme nouvelle solution un cylindre quelconque. Cette association du conoïde avec le cylindre dans la solution du problème explique Je nom de cylindroïde qui lui a été donné.

59. Nous donnerons encore une nouvelle et curieuse génération du conoïde de Plïicker. Mais, avant de la faire connaître, nous allons montrer comment on traduira par des constructions géométriques les formules données plus haut. Reprenons l'équation

(') Voir une Note de l'auteur dans les Leçons de Cinématique, de M. Gabriel Kœnigs, p. 352.

du conoïde et l'expression du pas de la vis

x^—y*- ihxy z = h— — » 9ïl = g--\ *-i

Si Ton introduit l'angle to que fait une génératrice rectiligne avec la génératrice la plus haute

il faudra poser

y = x tangw,

et l'on aura

D'IL = £" -l- A si n 2 co

Décrivons un cercle de centre O et de rayon h (fig- i). On peut supposer que A soit le point le plus haut et A' le point le plus

Fi}

bas de l'axe du conoïde. Alors, si l'on prend l'angle AOM égal à 2 w et si l'on abaisse de M la perpendiculaire MP sur AA', OP sera la valeur de z donnée par la formule (20); et, pour avoir la valeur de Dit, il faudra mener une parallèle HH' à AA' à la distance g de AA', à gauche si g est positive, à droite dans le cas contraire. Le pas Dît sera représenté par Ja longueur MQ. Si HH' coupe le cercle en deux points C, C, OYL deviendra nul pour ces deux points et il y aura deux mouvements hélicoïdaux qui se réduiront à des rotations. Ces mouvements seront imaginaires si HH' ne rencontre pas le cercle.

Les mouvements pour lesquels le pas est le même correspondent à deux points placés symétriquement par rapporta BB'. Les valeurs de 03 relatives à ces deux points sont complémentaires; elles définissent sur la surface deux génératrices que nous avons appelées

associées, et qui sont symétriques l'une de l'autre par rapport aux axes de symétrie de la surface. Ces axes de symétrie sont associés à eux-mêmes; ils correspondent aux points B, B', c'està-dire aux deux mouvements pour lesquels le pas est maximum ou minimum.

S'il y a des rotations réelles, il y aura des vis dcxtrorsum et des vis sinistrorsum. Si, au contraire, les deux rotations sont imaginaires, toutes les vis seront dextvorsum ou sinistrorsum suivant c[ue g sera positif ou négatif.

Nous avons vu que, sans changer la distribution des axes de ces vis, on peut diminuer ou augmenter tous leurs pas d'une même quantité quelconque. On pourra donc toujours annuler les pas de vis, nécessairement égaux, qui correspondent à deux génératrices associées quelconques (G), (G'). Dans l'ensemble des mouvements ainsi transformés, ces deux génératrices deviendront des axes de rotation, et chacun des nouveaux mouvements hélicoïdaux résultera de la composition de deux rotations convenablement choisies autour de ces droites. En d'autres termes, (G), (G') deviendront des droites conjuguées dans chacun des nouveaux mouvements hélicoïdaux.

Or, on sait, et il est aisé de démontrer, que deux droites conjuguées (G), (G') appartiennent à un paraboloïde équilatère dont les deux axes de symétrie sont l'axe même du mouvement hélicoïdal et la plus courte distance des deux droites. Abaissons, en effet, de tous les points de l'une des droites (G) des perpendiculaires sur l'axe du mouvement hélicoïdal. Ces droites, étant perpendiculaires àl'axe, seront, par cela même, normales au déplacement de tous leurs points. D'autre part, comme elles rencontrent la droite (G), elles rencontreront aussi sa conjuguée (G'). Ce sont elles qui engendrent notre paraboloïde équilatère, contenant (G), (G') et l'axe (A) du conoïde, perpendiculaire commune à (G) et à (G').

Ainsi, nous connaissons trois droites des divers paraboloïdes équilatères qui correspondent aux divers mouvements hélicoïdaux, et l'une de ces droites (A) est l'un des axes de symétrie de ces paraboloïdes. Pour avoir ces paraboloïdes et leur second axe de symétrie, il n'y a qu'à effectuer la construction suivante :

On joindra par une droite (B) un point quelconque de (G) à un point quelconque de (G'). Le paraboloïde qui contiendra cette

APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. Io3

droite en même temps que (G), (Gr) et (A) sera équilatère et aura pour second axe de symétrie la perpendiculaire commune à (A) et à (B). Nous sommes donc conduits à cette génération nouvelle et très élégante du conoïde de Plucker :

Etant données deux droites (D), (A), dont la perpendiculaire commune est la droite (E), les plus courtes distances de (E) et des droites qui rencontrent (D), (A) engendrent un conoïde de Plucker qui contient (D), (A) et a pour axe (E). Ce conoïde contient aussi les deuxbissectrices du couple (D), (A), c'est-à-dire les deux axes par rapport auxquels ces deux droites sont placées symétriquement.

Par son indétermination même, cette construction donne naissance à plusieurs autres. On a, par exemple, le théorème suivant :

Les perpendiculaires à des droites concourantes d'un plan et à une droite fixe de V espace engendrent un conoïde de Plucker.

60. Nous avons vu que les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point A de l'espace sur les génératrices du conoïde décrivent une conique. Les perpendiculaires elles-mêmes engendrent donc un cône du second degré, ce qui nous conduit à la proposition suivante :

Le complexe (K) des droites qui rencontrent orthogonalement les génératrices rectilignes du conoïde est du second degré.

Nous allons dire quelques mots de ce complexe qui dérive si simplement du conoïde. En partant de sa définition, on trouvera aisément son équation, qui est

(27) abi — bax-+- h(a2 — 62) = o,

a, b, c, «l5 bi: ct désignant les coordonnées pluckériennes de la ligne droite (n° 52). On peut le définir aussi comme le complexe des droites qui rencontrent deux génératrices associées du conoïde. En effet, soit (d) une droite qui rencontre deux génératrices associées (G), (G'), il résulte de la génération même que nous venons de donner au numéro précédent que la perpendiculaire

l<>4 LIVRE I. — CHAP. VII.

commune à (d) et à l'axe du conoïde sera une génératrice (G") du çonoïde. La droite (d) est donc perpendiculaire à cette génératrice. La réciproque s'établit de la même manière; toute droite (d) normale aune génératrice (G") et rencontrant une autre génératrice (G) devra couper aussi la génératrice associée (G').

A cette double définition du complexe on peut en adjoindre plusieurs autres. Mais auparavant il faut indiquer quelle est sa surface des singularités, c'est-à-dire la surface lieu des points pour lesquels le cône du complexe se réduit à deux plans.

Celte surface des singularités, qui est en généi-al du quatrième ordre, se décompose ici. Elle comprend le plan de l'infini et le conoïde de Plùcker. En effet, pour chaque point du conoïde, le cône du complexe se décompose de la manière suivante : Si (G) est la génératrice qui passe en ce point A, toutes les perpendiculaires à (G) en A engendrent un plan (P); de même toutes les droites passant par A et rencontrant la génératrice (G') associée à (G) engendrent un plan (P'). D'après la double définition du complexe (K.), le cône du complexe relatif au point A se décompose dans les plans (P), (P') ; cela suffit à montrer que le conoïde de Plùcker fait partie de la surface des singularités du complexe.

Supposons que le point A soit sur l'une des droites qui sont dans le plan médian et sont des axes de symétrie du conoïde. Désignons par (13), par exemple, celle sur laquelle se trouve A. Comme elle eslassociée à elle-même, le plan (P') se réduira ici au plantangent du conoïde en A. Ainsi, toutes les droites qui sont tangentes au conoïde en un point de l'un de ses deux axes de symétrie font partie du complexe (K); et par suite elles sont perpendiculaires à celle des génératrices rectilignes du conoïde qui passe par le point où elles coupent de nouveau cette surface.

On peut déduire de là une conséquence importante. Soit A un point quelconque de l'un des axes de symétrie et (G) une génératrice quelconque du conoïde. Si de A on abaisse une perpendiculaire sur (G), cette perpendiculaire (p) sera dans le plan langent au conoïde en A. Soit (G') la génératrice associée à (G). On peut passer de (G) à (G') par un renversement (rotation de 1 8o°) autour de(p), renversement qui laisse (G) invariable, puis par un renversement autour de l'axe de symétrie (B) qui contient le point A, renversement qui amène (G) en (G'). Or, deux renversements

APPLICATION DE LA THÉORIE PRÉCÉDENTE. Io5

autour de deux droites qui se coupent équivalent à une rotation égale au double de leur angle autour de la perpendiculaire commune à ces deux, droites. En appliquant ici ce résultatgénéral, on voit que :

Deux génératrices associées (G), (G') du conoïde peuvent être amenées à coïncider par une rotation qui se fait autour de V une quelconque des normales au conoïde dont le pied se trouve sur V un des deux axes de symétrie.

La question des axes de rotation par lesquels on peut amener à coïncider l'une avec l'autre deux droites (D),(A) a été bien étudiée. On sait que ces axes de rotation forment les deux séries de génératrices rectilignes d'un paraboloïde équilatère (II) qui contient les deux axes de symétrie du couple (D), (A) et dont les plans tangents sont les plans perpendiculaires sur les milieux des segments AB qui joignent un point quelconque A de (D) à un point quelconque B de (A). Si l'on prend un autre couple de points tel que AA'= BB', les plans perpendiculaires sur le milieu de AB et sur le milieu de A'B' se coupent suivant une génératrice rectiligne de (II).

On trouvera ici très aisément l'équation du paraboloïde (II). Elle est la suivante

(28) lhz=y* — x*.

Ce paraboloïde coupe à angle droit le conoïde en chaque point des deux axes de symétrie.

Lorsqu'on passe du couple de génératrices associées à tout autre couple, le paraboloïde (Et) n'est pas changé; seule variera la grandeur delà rotation par laquelle on amène (G) en (G').

Les considérations précédentes nous amènent à deux générations nouvelles du complexe (K). Comme chacune de ses droites rencontre deux génératrices associées et que le milieu du segment compris entre ces génératrices est dans le plan des deux axes de symétrie, on peut dire que

Le complexe (K) est le lieu des droites telles que le plan qui leur est perpendiculaire au point où elles rencontrent le plan des axes de symétrie soit tangent au paraboloïde (II).

lofi LIVRE I. — CHAP. VII.

D'autre part, d'après le théorème de Monge, le plan des axes de symétrie est le lieu des points d'où l'on peut mener au paraboloïde (II) trois plans tangents rectangulaires. D'après cela, soient (d) une droite dn complexe (R) et m le point où elle coupe le plan des xy. Comme le plan perpendiculaire à (d) en m est un plan tangent au paraboloïde (II), les deux plans tangents à ce paraboloïde menés par la droite (d) devront être rectangulaires.

Ai/isi, le complexe (R) est le lieu des droites par lesquelles on peut mener deux plans tangents rectangulaires au paraboloïde (II).

Cette propriété rapproche le conoïde de Plùcker de la surface des ondes qui a la même propriété quand on substitue an paraboloïde (II) un ellipsoïde convenablement choisi (').

Nous signalerons encore les propriétés suivantes :

Le complexe (R) est à lui-même son propre polaire réciproque par rapport à (II).

Les génératrices rectilignes des paraboloïdes homofocaux à (II) qui passent par le sommet de ces paraboloïdes engendrent le conoïde de Plùcker.

Les plus courtes distances entre une droite fixe et les génératrices rectilignes d'un conoïde de Plùcker engendrent un autre conoïde de Plùcker.

Ce dernier et élégant théorème est dû à J. Petersen (2).

61. Après avoir étudié le cas général, nous envisagerons d'une manière particulière celui où l'on sait a priori que, parmi les divers déplacements, il en existe deux qui se réduisent à des rotations autour de deux droites distinctes et concourantes. En se plaçant dans cette hypothèse, Ribaucour a obtenu un élégant théorème (3) que nous allons démontrer.

(') Voir une Noie de l'auteur clans le Tome II du Cours de Mécanique de Despeyrous, p. 606.

(2) J. Petersen, Nouveau principe pour études de géométrie des droites {Bulletin de l'Académie royale de Copenhague pour 1898).

(3) Ribaucour, Sur la déformation des surfaces (Comptes rendus, t. LXX, p. 33o).

11 est aisé de reconnaître que, dans le cas qui nous occupe, l'équation (9) doit être une identité. Désignons, en effet, par — r,

0« , 1 1 (Il/ , . . • -, , ,

5— deux valeurs de —r- relatives aux rotations considérées ; on aura ov dv

nécessairement

(p du -hpi dv) (\ du -+- £1 dv) -t-. . .= o,

(p OU -+- pi OV) ( ; 8l( -+- Çi Ov) -+-. . .= O.

Les axes de ces rotations sont définis par les formules (10). La condition pour que ces axes se coupent s'écrit de la manière très symétrique

(p du -+- pi dv) (£ ou -+- ci ov) -+- (p ou -\-pi ov) (£ du -+- \x dv) -+-...= o.

Les trois équations que nous venons d'obtenir peuvent se ramener au type suivant :

[ A du- +2B du dv -+- C dv2 = o, (29) < A 8tt2-+- 2B ou ov -+- C ov2 = o,

( A du ou 4- B ( du ov -+- dv ou) -t- G dv Bv = o,

où A, B, C ont pour valeurs

k=pt, -+-...,

G =pili-h....

Si l'on considère les trois équations (29) comme déterminant les inconnues A, B, G, leur déterminant sera (duov — dvhu)3, et, par hypothèse, il ne sera pas nul. On aura donc

et, par conséquent, l'équation (9) sera identiquement satisfaite. On arrive aux mêmes conclusions par un raisonnement beaucoup plus simple. Si les deux droites D, A se coupent, leur point d'intersection aura une vitesse nulle dans tous les déplacements. On devra donc avoir, si l'on désigne par x', y\ s' les coordonnées de ce point relativement aux axes mobiles,

ci -t-qix' — ny' = 0, (3oj \ tj -t- rx' — pz' =0, 1i+ ri x' — P\~ = o,

£>i-*-Pi y'— q\x'= o,

— ry = 0

7] -+- rx'

— pz' = 0

r^^-py

et il n'est pas difficile de déduire de là les équations A = o, B = o, G = o.

Voici maintenant la conséquence qui constitue le théorème de Ribaucour.

Supposons que, pour toutes les valeurs de u et de v, il y ait des valeurs de x' , y' , z' satisfaisant aux équations (3o). Le point (x1, y', z'), considéré comme appartenant au système mobile, décrira une surface (s) que nous regarderons comme faisant partie de ce système. Si l'on rapporte le même point aux axes fixes, il décrira une surface (S). Donnons à m et à v des accroissements du, dv\ le point se déplacera sur la surface (S) et décrira un arc infiniment petit dont les projections sur les axes mobiles, données par les formules (4), seront, en tenant compte des équations (3o),

dx\ dy\ dz'.

Or, ce sont là les projections sur les mêmes axes du chemin décrit par le point considéré sur la surface (s). Ces deux chemins ayant toujours même direction et même grandeur, on voit que les deux surfaces (s) et (S), non seulement sont tangentes, mais encore roulent l'une sur l'autre, de telle manière que les chemins parcourus par le point de contact sur les deux surfaces aient toujours la même longueur et la même direction.

lin d'autres termes, les deux surfaces se correspondent point par point, de telle manière que deux courbes correspondantes aient la même longueur. On dit alors qu'elles sont applicables Vune sur Vautre.

Nous pouvons ajouter les propriétés suivantes : Tirons des équations (3o) les valeurs de £, ..., £(, ... et portons-les dans les équations (3). Après un calcul facile, nous obtiendrons les relations

dz' dy' dz' dy'

dv dv "1 du ' du

.„ . ' àx' dz' àx' dz'

dv J dv ou l du

J à y' àx' dy' dz'

\ dv ^ dv y du J du

qui conduisent à une conséquence importante. Multiplions-les

respectivement par —, — > — — et ajoutons-les. Nous aurons

pi q\ n

c'a?' o|v' dz'

du du du

dx' dy' dz'

dv dv dv

On pourra donc poser, a et [ji, étant deux fonctions convenablement choisies,

/ dx' , <?.r'

[ pi=— [M

On aurait de même

9i = - !ai ri = — [-M

dy'

dz'

dv ■

dy'

~àv~:

du dv

.. cto' c'a:'

Aj- h (J.-— j

du dv

et les équations analogues en c/, /•. Si l'on substitue, d'ailleurs, ces valeurs des rotations dans les équations (3i), on obtient la condition complémentaire

en sorte que l'on a, pour/), <y, 7% les valeurs suivantes :

'te' i ày'

q ~ ~~ "'dû.

dz'

dx' 1 do '

r dt>

qui, jointes aux équations (32), remplacent les formules (3) et (3i).

L'interprétation géométrique des équations (32) et (34) est évidente. Les dérivées de x', y' , z' par rapport à u et par rapport à v étant proportionnelles aux cosinus directeurs de deux tangentes à la surface lieu du centre instantané, les deux rotations dont les composantes sont p,q, /'et/^,, </,, r{ sont dans le plan tangent à

IlO LIVRE I. — C1IAP. VII.

cette surface. Il en sera de même, évidemment, de la rotation qui correspond à une variation simultanée quelconque de u et de v; cela résulte des formules générales qui donnent les composantes de cette rotation. INous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

S'il arrive, pour chaque position du système mobile, que deux des mouvements infiniment petits, par lesquels on amène le système dans une position infiniment voisine, se réduisent à deux rotations autour d'axes concourant en un certain point, tout autre mouvement infiniment petit du système se réduira à une rotation autour d'un axe passant par le même point, que l'on peut appeler centre instantané de rotation. Les deux surfaces lieux du centre instantané, dans le système mobile et dans l'espace, seront applicables l'une sur l'autre; elles seront toujours en contact, de telle manière que tout mouvement du système mobile se réduira au roulement de l'une des surfaces sur l'autre, l'axe instantané de la rotation passant à chaque instant par le point de contact des deux surfaces et se trouvant dans leur plan tangent commun.

Il nous reste à donner l'interprétation géométrique de l'équation (33). Elle exprime, on le reconnaîtra aisément, que la relation entre la direction de la courbe suivie par le pôle instantané et celle de l'axe de rotation correspondant est réciproque; c'est-à-dire que, si, après avoir considéré un déplacement infiniment petit pour lequel l'axe de la rotation instantanée a une certaine direction, on envisage le déplacement dans lequel cette direction devient celle de la route suivie par le centre instantané, l'axe de rotation dans ce nouveau déplacement aura même direction que la route du centre dans le premier. On pourra ici constituer une théorie toute semblable à celle des tangentes conjuguées et de l'indicatrice de Dupin; on trouvera également deux séries de lignes, analogues aux lignes asymptotiques, qui sont caractérisées par cette propriété que, lorsque le roulement des deux surfaces l'une sur l'autre s'effectue de telle manière que le centre instantané décrive l'une de ces courbes, la rotation est à chaque instant dirigée suivant la tangente à la courbe. Par conséquent, les deux courbes correspondantes qui sont alors les routes du centre sur les deux surfaces

ont, à chaque instant, même courbure et même plan osculateur. Nous laissons au lecteur le soin de développer ces indications.

Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra deux surfaces (S), (s), applicables l'une sur l'autre, si l'on place la surface (s) de telle manière que l'un de ses points coïncide avec le point homologue de (S) et que les courbes homologues des deux surfaces qui passent en ce point y soient tangentes, ce qui pourra en général être réalisé de deux manières différentes, toutes les positions que l'on obtiendra ainsi pour la surface (s) dépendront de deux paramètres, et Je déplacement à deux variables défini par ces diverses positions jouira de toutes les propriétés que nous venons de signaler.

Considérons, par exemple, toutes les surfaces (s) symétriques de (S) par rapport à ses plans tangents; elles constituent évidemment toutes les positions d'une surface (s) roulant sur (S). On pourra appliquer à ce mouvement toutes les propositions précédentes. Les surfaces trajectoires des différents points du système mobile sont homothétiques aux podaires des différents points de l'espace par rapport à (S), le rapport de similitude étant 2.