CHAPITRE VIII
Définition du système le plus général de coordonnées curvilignes. — Méthode de Gauss. — Élément linéaire d'une surface. — Coordonnées orthogonales. — Les surfaces de révolution rapportées à leurs méridiens et à leurs parallèles. — Rappel de la définition et des propriétés élémentaires de deux surfaces remarquables de révolution : la caténoïde et la surface pseudosphérique. — Surfaces de révolution qui partagent avec cette dernière la propriété d'avoir le produit de leurs rayons de courbure constant. — Des surfaces réglées et de leur élément linéaire. — Détermination [des trajectoires orthogonales de leurs génératrices. — Élément linéaire des surfaces développables. — Les surfaces développables sont applicables sur le plan, et cela de telle manière que leurs génératrices rectilignes correspondent nécessairement à des droites du plan. — Réciproquement, toute surface applicable sur le plan est. une surface développable. — Démonstration directe donnée par Ossian Bonnet de cette importante proposition.
62. Dans le premier Chapitre, nous avons reconnu que l'on pouvait rattacher la théorie des courbes gauches à l'étude du mouvement d'un trièdre; de même les propositions relatives aux déplacements à deux variables trouvent une applicationimportante dans la théorie des surfaces. Mais, avant de développer cette application, nous donnerons des notions préliminaires sur les systèmes de coordonnées curvilignes que Gauss a, le premier, employés d'une manière systématique dans le Mémoire fondamental Disquisitiones générales circa superficies curvas, publié en 1828 dans le Tome IV des Nouveaux Mémoires de la Société de Gœttingue.
Il y a, comme on sait, deux moyens de définir une surface. On peut la déterminer par son équation, c'est-à-dire par la relation qui existe entre les coordonnées de l'un quelconque de ses points ; mais on peut aussi supposer que ces trois coordonnées aient été exprimées au moyen de deux variables indépendantes, que nous appellerons u et v. Cette seconde manière de définir la sut face est
même plus générale que la première; car, si l'on prend pour m etf deux des trois coordonnées rectangulaires, l'expression de la troisième sera précisément l'équation de la surface résolue par rapport à cette coordonnée.
Un système de coordonnées curvilignes peut être représenté géométriquement. Il suffit de tracer sur la surface les deux familles de courbes, lieux des points pour lesquels l'une ou l'autre des variables m, v demeure constante. Mais il importe de remarquer que le système de coordonnées n'est pas complètement défini, si l'on donne seulement les deux familles de courbes coordonnées. On pourra évidemment, sans changer ces courbes, remplacer u et v par les variables ui: e,, qui seront des fonctions quelconques
des premières
uA — o(u), v, = <h(v).
C'est une remarque dont on fait souvent usage, et qui permet quelquefois de grandes simplifications.
63. La méthode de Gauss repose essentiellement sur l'expression de l'arc d'une courbe quelconque tracée sur la surface.
Supposons les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point de la surface exprimées en fonction des deux variables u et v. L'expression d'un arc de courbe tracé sur la surface sera donnée par la formule
ds- = E du- -+- 1 F. du dv -+• G dv
où l'on a
\ \du] \du) \duj
I à.c dx dy dy dz dz \ du dv du dv du dv
Nous appellerons, pour abréger, ds l'élément linéaire. Nous le mettrons aussi sous la forme
(3) ds2= A2 du^-i- % ACcosa du dv 4- C2«fc2; et l'on aura, par conséquent,
(4) A = \/E, G = /G, cosa= -r=
Les formules (2) montrent que A.du est l'arc de la courbe
ç = const., C dv l'arc de la courbe du = const. Enfin a est l'angle
sous lequel se coupent ces deux courbes au point considéré. On
aura donc
toutes les fois que l'on emploiera des coordonnées curvilignes rectangulaires. 11 résulte également des formules (2) que l'élément superficiel de la surface aura pour expression
AC sin a du dv = \/EG — F^ du dv.
Avant d'aller plus loin, nous allons donner quelques exemples de ce mode de représentation.
64. Considérons d'abord les surfaces de révolution, et supposons que l'on ait pris pour axe des z l'axe de la surface. Si l'on appelle r la distance d'un point du méridien à l'axe, l'équation de la surface sera
Introduisons l'angle ç que fait, avec le plan des xz, le méridien passant par Je point considéré ; nous aurons, pour les coordonnées x, y, les expressions
a? = /'cosp, y =■ r sint>, et de là nous déduirons, pour l'élément linéaire, la formule
(5) «fo»=rfr»(i+/'»')-4-r*A>».
Ici, les courbes r = const. sont les parallèles; les courbes p = const. sont les méridiens. Si l'on pose
dr y/i -+-f'2 = du,
r deviendra une fonction de w, et l'équation (5) prendra la forme
(6) dsî= du?+v>(u)d\fi.
La signification de u est évidente : c'est l'arc du méridien compté à partir d'un parallèle fixe.
On peut mettre cette expression de l'élément sous une forme
PREMIÈRES NOTIONS SUR LES COORDONNÉES CURVILIGNES. I f 5
un peu différente. Posons
du , dr y/i -+- f'1 = dii-i — - — ?
o(u) deviendra une fonction ¥{u\) de m,, et l'équation (6) nous donnera
ds* = F(Ki)(dw?-t-flfc2):
60. Toutes les fois que l'élément linéaire d'une surface peut être ramené à la forme
ds*= l(dtf-hd^),
on dit que les courbes coordonnées forment un réseau isotherme ou isométrique. La première dénomination est empruntée à la théorie de la chaleur; la seconde, qui est due à M. Bonnet, s'explique par les remarques suivantes.
Imaginons que l'on trace sur la surface toutes les courbes coordonnées correspondant à des valeurs des paramètres a, j3 croissant suivant des progressions arithmétiques de raison infiniment petite
a, a -+- dz, a -H 1 drx, ...,
P, P + dp, P + 2«?P, ...;
on aura ainsi décomposé la surface en une série de rectangles infiniment petits, dont les côtés seront égaux si l'on a pris da = dfi. On dit alors que la surface est divisée en carrés infiniment petits. Cela n'est pas, sans doute, rigoureusement exact; mais les rectangles curvilignes formés par les lignes coordonnées considérées ont le rapport de leurs côtés adjacents d'autant plus voisin de l'unité que la raison do. a été choisie plus petite.
Dans le cas des surfaces de révolution, on voit que les méridiens et les parallèles constituent un système isotherme.
66. Considérons, en particulier, la surface de révolution engendrée par la révolution d'une chaînette autour de sa base. On a
et l'on trouvera sans difficulté
La formule (6) nous donnera, par conséquent, pour l'élément linéaire de la surface,
ds*-= du2-h(u2-+-az)di>z.
Celte surface très remarquable a reçu le nom à? alysséide ou de caténoïde. Comme la chaînette est la seule courbe dont le rayon de courbure soit égal et de signe contraire à la normale, la caténoïde est la seule surface de révolution pour laquelle les rayons de courbure principaux soient en chaque point égaux et de signes contraires. On a donné le nom de surfaces minimak toutes celles dont les rayons de courbure sont liés par cette relation. La caténoïde est donc la seule surface minima de révolution.
On sait que, si l'on considère une chaînette dont la base soit Oz {fig- 2) et si, du pied P de l'ordonnée du point M, on abaisse une
Fig. 2.
perpendiculaire PQ sur la tangente en M, l'arc de la chaînette, compté à partir du sommet S, sera égal au segment de droite MQ;
par conséquent, le point Q décrira une des développantes de la chaînette.
Comme PQest constant et égal au paramètre a de la chaînette, le lieu du point Q sera la courbe aux tangentes égales ou tractrice. En désignant par ç> l'angle PMQ, l'arc décrit par le point Q, lorsque o augmente de r/o, a pour valeur
cfo =. MQ do = a cotcp do.
Comme, d'ailleurs, la perpendiculaire abaissée de Q sur Og a pour expression
r = a sin tp,
on voit que l'élément linéaire de la surface engendrée par la révolution autour de Os de la courbe aux tangentes égales sera donné par la formule
ds2 = <a?a2-i-r2 dv^= «2(cot2cp rfcp2-+- sin2cp <^2).
Posons
cotco do = du, ce qui donne
sino = eu, et nous aurons
Remarquons, d'ailleurs, que, dans le triangle rectangle RPM, on
MQ.QR = a*.
Les centres de courbure principaux de la surface sont évidemment les points M et R; donc les rayons de courbure principaux satisfont à la relation
RR' = — a2.
Mais cette propriété ne caractérise nullement la surface, il est aisé de le démontrer.
Proposons-nous, en effet, de déterminer toutes les surfaces de révolution dont les rayons de courbure sont liés par la relation précédente. Par un calcul sur lequel nous ne reviendrons pas ici,
