SURFACES DEFIMES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES
qui est exactement applicable sur tonte la surface engendrée par la révolution complète de la branche OCA du méridien.
En effet, les formules (g) relatives à une valeur quelconque de a nous montrent que l'angle ç{ fait par le méridien qui passe au point (m, e) de la surface avec un méridien fixe a pour valeur
Vi = -
Par conséquent, lorsque vK aura varié de o à 2 tt, v aura crû de larz. Ainsi, la surface engendrée par la révolution complète de l'arc ACO est applicable sur le fuseau de la sphère compris entre deux plans méridiens faisant l'angle iaiz. On voit que, pour des valeurs très petites de a, ce fuseau deviendra infiniment étroit.
Si a'2 est supérieur à l'unité, le méridien change complètement de forme, car u ne peut prendre que les valeurs satisfaisant à
l'inégalité
cos- U < — - '
Soit X0 l'angle aigu défini par la formule
COSÂo = - • a
Il faudra faire varier u entre ~k0 et tc — X0. Le méridien aura la forme représentée {fig. 6). La surface engendrée par ce méridien
Fis. 6.
sera applicable sur la zone de la sphère comprise entre les deux cercles de colatitude A0 et ~ — A0. Mais, de plus, la formule (10) nous montre qu'il suffira de faire tourner le méridien ACB d'un angle égal à — pour obtenir toute la portion de la surface, appli-
1 34 LIVRlî I. — CHAI*. IX.
cable point par point sur Ja zone sphérique que nous venons de définir.
Si a grandit, cette zone diminue indéfiniment et se réduit à une bande infiniment étroite longeant l'équateur de la sphère.
La discussion détaillée que nous venons de faire avait pour but de mettre en évidence un fait intéressant. Considérons un morceau, de forme d'ailleurs quelconque, de la surface de la sphère. Quand la sphère se déforme de manière à coïncider successivement avec les diverses surfaces définies par les formules (9), cette portion de la surface sphérique que nous avons choisie se déplacera et se déformera d'une manière continue en demeurant applicable sur sa position initiale. Mais ce mouvement ne pourra être continué indéfiniment sans qu'il se produise une déchirure; car nous avons vu que, si le paramètre a augmente à partir de 1 et croît indéfiniment, la seule portion de la sphère qui puisse être appliquée sur les surfaces qui correspondent à ces valeurs croissantes de a se réduit à une zone, d'aire aussi petite qu'on le veut, entourant l'équateur. Par conséquent, si l'on considère une portion finie de la sphère, le mouvement de déformation de cette portion cessera d'être possible dès que a aura atteint une limite supérieure, qui dépend évidemment de la forme de cette portion.
78. Du moins, dans l'exemple que nous venons d'étudier, toutes les surfaces définies par les formules (9), et pour lesquelles a2 est inférieur ou égal à l'unité, jouissent de la propriété de représenter complètement l'élément linéaire, c'est-à-dire qu'elles ont des points réels, correspondant à toutes les valeurs réelles de u et de v. Il n'en est plus de même dans l'exemple suivant.
Supposons que, dans les formules générales, on fasse
U = eu.
L'élément linéaire aura pour expression
(11) ds* = du'1-}- e-u dv2, et les équations (8) nous donneront ici
(12) x=aeucos — , y — aeusin-> z= I t/i — a2e2" du.
SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIETES CINÉMATIQUES. l35
Ces formules définissent des surfaces, qui sont toutes égales; car, si l'on pose
(ï3) a en = sino, v = avi,
elles deviennent
/ x = sin cp cost'i, ( 1) y = sinosinPi,
/ .z = coscp -f- log tang -»
et ne contiennent plus a. Nous avons donc une seule surface, qui est applicable d'une infinité de manières sur elle-même, et les formules qui réalisent cette application sont
a e" = a e'1', v = av\
u', v' désignant les coordonnées du point qui correspond au point («, c). Ce résultat est d'ailleurs évident, d'après la forme même de l'élément linéaire (i i). Il suit de là, et des propriétés que nous avons signalées plus haut (n° 76) : i° que le méridien ne peut être que la courbe aux tangentes égales ou tr actrice ; 2° que le produit des rayons de courbure principaux est le même en tous les points de la surface. On reconnaît les propriétés de la surface pseudosphérique que nous avons déjà étudiée directement; et, en comparant l'expression de l'élément linéaire à celle qui a été donnée (n° 60), on voit que le produit des rayons de courbure de la surface est égal à — 1 .
Il y a ici un fait important à signaler. Pour que les valeurs de x, y, z données par les formules (12) soient réelles, il faut que l'angle es soit réel, c'est-à-dire que l'on ait
Quelle que soit la valeur donnée du paramètre a, il y aura donc toujours des valeurs suffisamment grandes de u, associées à des valeurs quelconques de ç, auxquelles ne correspondra aucun point de la surface. Par conséquent, s'il est vrai que la pseudosphère soit applicable sur elle-même d'une infinité de manières, aucune des solutions que l'on choisira ne pourra donner une représentation géométrique complète de l'élément linéaire.
LIVHE I. — Cil A P. IX.
79. Les surfaces que nous venons d'étudier se rapprochent par une propriété commune. Elles peuvent être considérées toutes comme engendrées par une courbe invariable de forme qui se meut d'après une loi donnée. Proposons-nous maintenant d'étudier les surfaces les plus générales satisfaisant à cette définition.
Considérons une courbe (C) et un système d'axes mobiles invariablement lié à la courbe. Supposons que la position de la courbe et des axes mobiles dépende d'un paramètre v qui jouera le rôle du temps, et soient £, tj, Ç; p, g, r les translations et les rotations du système mobile. Ces six quantités seront fonctions de v. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe par rapport aux axes mobiles ; x.y^ z seront des fonctions données d'un paramètre u.
Si les axes mobiles se déplacent, et que le point M se déplace en même temps d'une manière quelconque sur la courbe, les projections de l'arc infiniment petit décrit par le point seront
dx -+- ( <■ -t- q z — r y) dv, dy ■+■ ( i] ■+■ rx — pz) dv, dz 4- ( Ç -\-py — qx) dv.
Posons, pour abréger,
dx , — =x ,
au
dy
du
le carré de l'élément linéaire de la surface engendrée par la courbe aura pour expression la somme des carrés des trois projections, c'est-à-dire
ds% = (a-'2
x' y' z' J du dv p q r J
rx — />s)2-f-(Ç -+- py — q&y] dv-
80. Il suffirait d'introduire dans cette formule des hypothèses spéciales, convenablement choisies, pour retrouver tous les résultats précédents.
Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir l'élément linéaire des surfaces réglées. On prendra pour axe des z du trièdre
SURFACES DEFINIES PAR DES PROPRIETES CINEMATIQUES. I37
mobile la génératrice recliligne de la surface, et l'on fera décrire à l'origine du trièdre une trajectoire orthogonale des génératrices. Cela donne les conditions
x = y = o, z = u, £ = o, et, par suite, la formule (16) se réduira à la suivante :
(17) ds* = du--+- [(£-+- qu)2-\- (7) — pu)2] dv~.
Si l'on veut exprimer que la surface est développable, il faudra considérer les projections (i5) de l'arc décrit par un point quelconque de la surface. Elles deviennent ici
(£ + qu) dv, (ïj — pu) dv, du.
Le plan tangent au point z = u aura donc pour équation, par rapport aux axes mobiles,
x |j + qu
y i\—pu
Pour qu'il soit le même en tous les points d'une génératrice, il faudra que l'on ait
c'est-à-dire que le coefficient de dv'1 clans la formule (17) soit un carré parfait. C'est le résultat déjà établi (n° 69).
81. Considérons maintenant le cas nouveau où le mouvement de la courbe mobile (C) se réduit à une translation. Il faut alors, dans la formule (16), faire
p = q = r = o, et l'on a, par conséquent,
( ds- — (x'2-r- y'% -t- z"1) du-
\ -hl(x't-hy-H -hz'Zjdu rfp + ^+V+Ç2)^2.
On parvient à un résultat identique parla méthode directe suivante :
Soient
x = U, y = Ui, z = U2
l38 LIVRE I. — CI1AP. IX.
les équations qui déterminent la courbe par rapport aux axes mobiles, U, U|, U2 désignant des fonctions d'un même paramètre u. Supposons que les axes fixes aient été choisis parallèles aux axes mobiles, et désignons par V, Vt, V2 les coordonnées de l'origine des axes mobiles par rapport aux axes fixes; V, V,, V2 seront des fonctions d'un paramètre v. Les coordonnées d'un point quelconque de la surface cherchée, par rapport aux axes fixes, auront évidemment les expressions suivantes :
La symétrie de ces formules nous montre immédiatement que la surface peut être engendrée de deux manières différentes par la translation d'une courbe invariable, et que les courbes coordonnées de chacun des deux systèmes (m) et (c) se déduisent de l'une d'elles par un simple mouvement de translation.
82. On peut encore interpréter les formules (19) de la manière suivante. Considérons les deux courbes définies par les équations
x = 2U, y = iUi, -3 = aU2, et
^ = 2V, y = -iVi, 5 = 2V2.
Le lieu des milieux de toutes les cordes qui joignent un point de la première à un point de la seconde est la surface considérée. Cette définition, due à Sophus Lie, met bien en évidence le double mode de génération de la surface. H suffit d'associer toutes les cordes passant, soit par un point de la première courbe, soit par un point de la seconde, pour retrouver les deux systèmes de génératrices invariables.
Supposons, pour fixer les idées, que les fonctions U, V soient réelles et que l'on ait pris, pour les paramètres u et e, les arcs des
deux courbes
x = U, y=Uu z = U2,
x = V, r = Vi, ~ = V2; l'élément linéaire de la surface prendra la forme
ds*= du* -h rft»»+2(U'V,H-y/lV/1 + U;Vi)du«fo.
SURFACES DÉFÎMES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉ.UATIQUES. l3g
Si donc on pose
an- [3 a— p
