OL = U -+• V

l'expression de l'élément linéaire deviendra

, , ,, i+u'v+u'iVi+u'.v:, ,, ,__u'v— u',v', — u',v;; ,

(20) ds1= — ! — - dzz H — ! -dS2.

Cette formule met en évidence un système de coordonnées rectangulaires sur la surface, car l'élément linéaire est ramené à la forme

(21) ds*= A2rfa*-|-Csrfp2, et même avec la condition

83. Nous avons à signaler encore une propriété géométrique tout à lait générale des surfaces que nous considérons. Mais, pour la démontrer, nous devons commencer par rappeler un théorème relatif aux tangentes conjuguées.

Nous dirons que deux familles de lignes tracées sur une surface sont conjuguées lorsque les tangentes aux lignes des deux familles qui passent en un point quelconque de la surface sont conjuguées (d'après la définition de Dupin). Voici comment on peut exprimer cette relation.

Soient u et v les paramètres des deux familles de courbes, et supposons que l'on connaisse les expressions des coordonnées rectilignes x,y, z d'un point quelconque de la surface en fonction de u et de v. Si l'on désigne par X, Y, Z les coordonnées courantes, l'équation du plan tangent à la surface au point M.(x,y,z) sera

p et q désignant, suivant l'usage, les dérivées de z par rapport à x et ky. Supposons que l'on se déplace sur la ligne v = const. L'intersection du plan tangent avec sa position infiniment voisine sera définie, d'après la théorie des enveloppes, par l'équa-

l4o LIVRE I. — CHAP. IX.

lion < 22), jointe à celle que l'on obtient en la didérentiant par rapport à a, c'est-à-dire

<>z dp „ , àq ,.r dx dy

du du J duK J ' 1 du 1 Ou

ou, en supprimant les termes qui se détruisent,

d« 7 du ' ^ y

Pour exprimer que les courbes (a) et (c) sont conjuguées, il faudra écrire que les équations (22), (23) sont vérifiées quand on

y remplace X — x. \ — y, Z — z par —, — , — • Gela donne les

j 1 ■/ • l dv dv dv

deux équations

/ àz 0:r dy

\ dp àx dq dy

\ du de du dv

La première est toujours satisfaite, car elle exprime ce fait évident que la tangente à la courbe u = const. se trouve dans le plan tangent. Quand à la seconde, elle est identique à la suivante:

d ! dx dy

du \ dv dv

à^x au dv

du dv

ou, plus simplement,

du dv

à*- y CI - — : — = o.

du dv

dx dy

du du

Si l'on remarque maintenant que/? et q sont déterminées par les équations

on pourra éliminer/? et q entre les équations (a5) et (26), et l'on sera conduit à l'équation

d2 x dx dx

du dv du dv

d%y dy dy

dudv du dv

d^z dz àz

du dv du dv