SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINEMA.TIQUES. I4I
qui esl symétrique par rapport aux trois coordonnées. Cette relation, qui est d'ailleurs nécessaire, est aussi suffisante; car elle exprime qu'il y a des valeurs de p et de q satisfaisant aux équations (20) et (26), et, d'après les formules (26), p et q seront les dérivées de z, considérée comme fonction de x et dey.
84. On peut formuler la condition trouvée d'une manière différente. L'équation (27) est évidemment le résultat de l'élimination de A. et de B entre les trois équations
à2 ce
du àv
du àv
àx
àx
àv
du
-B^=o àv
du
àv
au àv
Nous obtenons ainsi la proposition suivante :
La condition nécessaire et suffisante pour que les lignes (u) et (p) soient conjuguées est que les expressions des trois coordonnées rectangulaires en fonction de u et de v satisfassent à une même équation linéaire
du àv au àv
où A, B désignent des fonctions quelconques de u et de v.
Cette proposition, sur laquelle nous aurons à revenir pour la compléter et la généraliser, joue un rôle très important dans la théorie des surfaces.
Si nous l'appliquons aux surfaces qui nous occupent, nous voyons immédiatement que les trois coordonnées satisfont à l'équation
au àv
et, par conséquent, les deux systèmes de courbes invaiùables qui engendrent ici la surface sont des lignes conjuguées. Au reste, la Géométrie permet aussi d'obtenir très simplement ce résultat. Considérons, en effet, les deux familles de courbes (u) et (c).
l4'2 LIVRE I. — CIIAP. IX.
Dans la translation d'une courbe (u), chaque point M de cette courbe décrit une courbe (V). D'autre part, la tangente en M à la courbe (u) conserve, dans la translation, une direction invariable. Il suit de là que la développable circonscrite à la surface en tous les points de la courbe (e) décrite par le point M sera le cylindre engendré par la tangente en M à la courbe (u). Cette simple remarque suffit à démontrer que les deux familles de courbes (m) et (c) forment un système conjugué; et l'on voit de plus que les développable s circonscrites à la surface en tous les points de V une de ces courbes sont des cylindres, engendrés par les tangentes aux courbes de Vautre famille, tangentes menées au point où ces courbes rencontrent la courbe considérée (').
85. Enfin, nous traiterons le cas où la courbe mobile (G) qui engendre la surface est plane, et où les vitesses de tous ses points sont normales au plan qui la contient. Nous supposerons que l'on ait pris le plan de la courbe pour plan des xy du trièdre mobile. On doit alors, clans les formules (i5) et (16), introduire les hypothèses
Si l'on admet, de plus, que Ion a choisi pour u l'arc de la courbe (C), on aura encore
x'2-\- y''2 = i, et l'expression de l'élément linéaire deviendra
(32) ds2 = du- -h (£-t- py — qx)-dv-. .
Quant aux projections de l'arc décrit par un point quelconque M de la surface, elles seront, d'après les formules (io),
dx, dy, (t-hpy — qx)dv.
La normale à la surface sera dans le plan de la courbe, et ce plan roulera sur une certaine surface développable.
(]) S. Lie, Beitvâge zur Théorie der Minimalflâchen (Mathematische Annalen, t. XIV, p. 332-337).
