SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉ.UATIQUES

On reconnaît les surfaces étudiées par Monge d'une manière détaillée (').

Les lignes de courbure de l'un des systèmes sont les diverses positions de la courbe mobile ; celles du second système sont les trajectoires des différents points de celte courbe.

86. Considérons, en particulier, le cas où le plan de la courbe mobile roule sur un cylindre. On obtient alors une surf ace moulure. Si nous supposons que l'axe des x du trièdre mobile ait été pris parallèle aux génératrices du cylindre, la rotation dn système se fera autour d'une parallèle à l'axe des x, et l'on aura

L'élément linéaire donné par la formule (3a) prendra la forme

ds- = du2 -+- | — -+- y J p- dv°L

ou, en changeant les notations,

(33) «&»=rfa*H-(U — V)*rfp»,

U et V désignant des fonctions qui dépendent respectivement de u et de v.

On peut donner des surfaces moulures une autre définition, à quelques égards plus simple que la précédente.

Quand le plan de la courbe (C) roule sur le cylindre, les trajectoires de ses différents points sont évidemment des courbes planes dont le plan est parallèle à la section droite du cylindre, et, de plus, ces trajectoires sont à chaque instant normales au plan de la courbe (C). Il est évident, d'après cela, que leurs projections sur le plan de la section droite du cylindre constitueront une famille de courbes planes parallèles admettant pour développée commune la section droite du cylindre. De là résulte la génération suivante des surfaces moulures :

On donne dans un plan une famille de courbes parallèles.

(l) Monge, Application de V Analyse à la Géométrie, 5e édition, p. 322. De la surface courbe dont toutes les normales sont tangentes à une même surf ace développable quelconque.

Si Von imprime à chacune de ces courbes une translation finie , normale au plan et variant suivant une loi donnée, quand on passe d^une courbe à Vautre, les positions nouvelles de toutes ces courbes forment la surface moulure.

87. En s'appuyant sur celte définition, on peut montrer que la forme (33) de l'élément linéaire convient toujours à une infinité de surfaces moulures.

En effet, écrivons l'expression de ds'1 sous la forme

ds* = d\J* -+■ ( U — V)« dv2 + (i — U'«) du\

Les deux premiers termes pris isolément constituent l'élément linéaire d'une surface développable, et nous avons vu(n°70) qu'en posant

■ = U cosp -+- I Y sinv dv,

y = JJ sinf — /

V cosp dv,

on aurait

dx"- -h dy* = dU* -+- ( U — V)2 dvK

La surface définie par les formules (34), jointes à la suivante :

(34') z= I ^ l ~ U"2 du,

aura donc l'élément linéaire exprimé par la formule (33).

Si l'on remarque que cet élément linéaire ne change pas de forme quand on y remplace v par av, on reconnaît la possibilité d'introduire une constante arbitraire dans les formules précédentes et l'on trouve, en recommençant le calcul,

x = a U cos h / V s in - dv,

(35) / y = aU sin / V cos - dv,

z = / \J i — «2U'2 du.

Ces formules définissent une famille de surfaces moulures, toutes applicables les unes sur les autres (').

(!) Bour, Théorie de la déformation des surfaces {Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXIXe Cahier, p. 89).

SURFACES DÉFINIES PAU DES PROPRIÉTÉS CINEMATIQUES. l45

88. La méthode cinématique que nous venons d'appliquer à de nombreux, exemples s'étend au cas où l'on considère une courbe qui varie de forme en même temps qu'elle est entraînée dans le mouvement des axes mobiles. Il suffira en effet, dans les formules (io) qui donnent les projections du déplacement sur les axes mobiles, de regarder x, y, z, non plus comme des fonctions d'une seule variable u, mais comme des fonctions de u et de v.

Proposons-nous, par exemple, d'appliquer cette méthode aux surfaces engendrées par le mouvement d'un cercle. On peut supposer qu'on ait choisi pour le trièdre mobile celui qui admet pour axe des z l'axe du cercle et pour axes des x et des y deux diamètres rectangulaires du cercle choisis comme on voudra, ce qui laisse subsister une certaine indétermination. Alors, Jes coordonnées d'un point du cercle seront

x = R.cosu, jK=R.sin?/, z = o,

le rayon R étant une fonction de v. Les formules (io) nous donneront, pour les projections du déplacement d'un point de la surface engendrée par le cercle, les expressions

D,c= £ dv -+- cosz< dR — R sin u (du -+- r dv), Dr = ï) dv -r- sin u dR -+- R cos u(du -+- r dv), D: = [Ç -+- R(p sin u — q cos«)] dv.

Ces formules donnent immédiatement l'élément linéaire de la surface. Elles permettent aussi d'obtenir l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des cercles de la surface. En exprimant que la trajectoire est normale au cercle, on aura la condition

— sin u Dx -+- cos u Dy = o

ou, en remplaçant D^, Dr par leurs valeurs,

du ? . T,

— h r = ît sin u — — cos u.

dv R R

Telle est l'équation qui déterminera u en fonction de v. Si l'on substitue à u l'inconnue

u n = tang-,

on sera conduit à une équation générale de Riccati

S — ;<■ + "> + ! — ïfce—)-

La connaissance d'une seule trajectoire orthogonale permettra donc de déterminer toutes les autres par de simples quadratures (' ).

89. En terminant ce Chapitre, où nous avons étudié surtout des surfaces jouissant de propriétés cinématiques, nous allons donner la définition d'une classe de surfaces qui se rapprochent à ce point de vue des précédentes, et qui ont d'abord été étudiées par Maurice Lévy (2).

Considérons un système qui se déplace, mais qui varie en même temps de grandeur en restant semblable à lui-même, et proposonsnous de chercher la loi des vitesses de tous ses points à un instant quelconque. Soient P0, P, deux positions infiniment voisines de ce système. Construisons la figure P'4 homothétique à P,, en prenant l'origine des coordonnées pour centre d'homothétie, le rapport d'homothétie étant tel que P', soit égal à P0. On peut passer de P0 à P4 : i° par un déplacement infiniment petit qui amène P0 en P',; 2° par une transformation homothétique ayant l'origine pour centre d'homothétie et transformant l?'t en P<. Il suit de là que les vitesses de tous les points du système sont les résultantes de celles qui se produiraient dans le déplacement et de celles qui sont dues à la transformation homothétique. Les premières ont des expressions bien connues :

a-hqz — ry, [3 -+- rx — pz, y-f-/>jK — q%-

Quant à celles qui sont dues à la transformation homothétique, comme elles ont pour effet de réduire les coordonnées dans le même rapport, elles ont pour expression

hx, hy, hz.

(J) Les surfaces à génératrice circulaire ont été étudiées par M. Demartres {Annales de l'École Normale, 3e série, t. II, p, i23).

(2) Maurice Lévy, Sur le développement des surfaces dont l'élément linéaire est exprimable par une fonction homogène {Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 788).