SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES. IJ
En résumé, les composantes des vitesses d'un point du système dans le mouvement considéré auront pour valeurs
I V.r = a -+■ h x -h q z — ry,
(36) l Yy=Ç> -+- hy-\- rx —pz, ( Vz = y •+- hz -\-py — qx.
Si nous désignons par k le rapport de similitude du système mobile pris dans sa position actuelle au même système pris dans une position déterminée, on aura évidemment
/on , ! dk
(37) h=~kdï'
Tant que ce paramètre h n'est pas nul, c'est-à-dire tant que le système varie de grandeur, on peut transporter l'origine des coordonnées en un point tel que les termes a, [3, y disparaissent des formules (36). L'interprétation de ces formules met alors en évidence le résultat suivant : les vitesses sont les mêmes que si le corps tournait autour d'une droite et éprouvait en même temps une transformation homothétique par rapport à un point de cette droite. Si l'on choisit pour nouvel axe des z cet axe de rotation, les formules (36) se simplifient et se réduisent à la forme suivante :
!yx— hx — ry, Y y = hy -+- rx, V- = hz.
90. Etudions le cas où l'axe de rotation et le centre d'homothétie demeurent fixes dans toute la suite du mouvement, les paramètres h et /■ restant constants. Alors, les positions successives d'un point déterminé du système mobile seront définies par les équations différentielles
dx , dy , dz 7
—— = lix — ry, -f- = hy 4- rx, —r = hz.
dt ,/' dt J ' dt
On aura donc, en intégrant,
[ z = z0 e'it, (39)' < x — /-y eht cos(oj0-h rt),
( y = r0 eht sin(w0-+- rt).
l4$ LIVRE I. — CIIAP. IX.
Chaque point du système décrira une courbe tracée sur un cône de révolution
vAr2-t- y'1
— = const.,
ayant pour sommet l'origine et pour axe l'axe de rotation; la projection de la trajectoire sur le plan des xy sera une spirale logarithmique ayant pour pôle l'origine des coordonnées. Si l'on -considère la spirale gauche décrite par le point comme appartenant au système mobile et variant de grandeur avec lui, elle glissera sur elle-même pendant toute la durée du mouvement, absolument ■comme les hélices décrites par les différents points d'un système invariable dans le mouvement hélicoïdal.
Par suite, les surfaces qui admettent pour génératrices les courbes définies par les formules (3g) sont évidemment les analogues, dans la théorie qui nous occupe, des surfaces hélicoïdales -et des surfaces de révolution.
Prenons pour /•„, co0, ;0 des fonctions quelconques d'un paramètre 9. Les formules (3g), qui donnent les expressions de x, jK, z en fonction de t et de 9, définiront la surface que nous nous proposons d'étudier. Cherchant son élément linéaire, nous trouverons un résultat de la forme
(4o) ds'2 = c»A'(A«ft«-4- aBrffrfO-H CdV),
-où A, B, C sont des fonctions de 9 définies par les équations
B = hz0z'0 -+- hror'0 ■+■ rrjujj
P ,.2 ,,,'2 i r'2 , yJï
Nous allons transformer cette expression de l'élément linéaire. Posons
dt -+- — d% = T dv, A h
•ce qui donne, en intégrant,
L'élément linéaire deviendra
ds*= elv(A.' dvi+C'dQ*),
SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQUES. l4ç^
A' et G; étant encore des fonctions de 9. Enfin, substituons à H la variable u définie par la relation
u = Tv/c^e;
A' deviendra une fonction U2 de u, et nous aurons pour la formedéfinitive de l'élément linéaire
(4a) ds*= es"(^«2-HU2cfo2).
Nous appellerons surf aces spirales les surfaces que nous venons de définir. Elles se rapprochent de la spirale logarithmique par une propriété essentielle qui résulte de leur définition : comme cette courbe, elles peuvent être agrandies dans un rapport quelconque sans cesser d'être superposables à elles-mêmes.
Maurice Lévy a montré que le théorème de Bour s'étend à ces surfaces, qu'il y en a une infinité qui admettent le même élément linéaire et sont, par conséquent, applicables les unes sur les autres. On établit cette proposition par le calcul suivant.
En remplaçant u par une fonction de ?/, on peut substituer à la forme (42) de l'élément linéaire la suivante :
( 43 ) cfcs = u 2 etv ( du? -+- dv"- )
qui nous conduira à des calculs plus simples.
Définissons une surface spirale par les équations
(44) i Y = re" sin(h) -+- hv ),
X = re" cos(w + hv'),
Z = se",
où h désigne une constante et où z, ;*, w sont des fonctions de a~ En exprimant que l'élément linéaire de cette surface est donné par la formule (43), on sera conduit aux trois relations suivantes :
1 u2= r2(i-+-/\2)-h.z2, (45) j o = zz'-h rr'-\- hr*tû',
qui détermineront, pour chaque valeur de la constante /?, les fonctions inconnues s, 7', oj. On peut aisément éliminer 7' et to.
IÔO LIVRE I. — CHAP. IX.— SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIETES CINEMATIQUES.
On déduit, en effet, des deux premières équations (4^)
En portant les valeurs de r, /■' et de to' dans la troisième équation, il restera pour z l'équation différentielle très simple
en sorte que la détermination des surfaces spirales qui admettent l'élément linéaire donné (43) sera ramenée à l'intégration de cette équation.
Pour tout ce qui concerne cette intégration, nous renverrons le lecteur à la Note VI de la quatrième Partie de notre Ouvrage ( irc édition).
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION. l5l
