SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION

On se propose, dans ce Chapitre, de déterminer toutes les surfaces qui peuvent, de deux ou de plusieurs manières, être considérées comme des surfaces de translation. Cette question, qui a été posée et résolue par Sophus Lie, a été aussi l'objet des recherches d'Henri Poincaré. On va en donner une solution nouvelle qui n'exige aucune connaissance de la théorie des fonctions abéliennes.

Enoncé précis du problème à résoudre. — A chaque solution du problème convenablement formulé correspondent trois surfaces distinctes, qui peuvent être regardées, de deux ou plusieurs manières, comme des surfaces de translation. — Résultat de la recherche : Les parallèles menées par un point fixe aux tangentes de l'une quelconque des courbes (C,-) dont la translation engendre la surface sont les génératrices d'un cône algébrique du quatrième ordre. — Détermination effective de ces courbes. — Démonstration directe du théorème d'Abel pour le problème particulier étudié. — Cas où le cône du quatrième ordre se décompose. — S'il se décompose en deux cônes du second ordre, l'une des surfaces correspondantes peut être regardée d'une infinité de manières comme une surface de translation. — Equation en coordonnées cartésiennes de cette surface.

91. Dans le Chapitre précédent, nous avons fait connaître la définition et certaines propriétés élémentaires des surfaces de translation. Nous nous proposons maintenant de déterminer toutes les surfaces qui peuvent, de deux ou de plusieurs manières, être considérées comme des surfaces de translation, c'est-à-dire être représentées de deux ou de plusieurs manières par un système d'équations de la forme

(i) a? = /(*)-»- /i(*i>, «r = ?'(0 + ?i('i)> * = <KO-i-4'i('i)-

Dans un Mémoire intitulé : Bestimmung aller F lâche n die in mehr fâcher Weise durch Translationsbewegung einer Curve erzeugt werden, et inséré, en 1882, aux Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , Lie s'est proposé et a résolu cette belle et difficile question. Henri Poincaré est revenu sur ce sujet à deux reprises différentes, d'abord dans un Mémoire intitulé : Remarques

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diverses sur les fonctions abéliennes, inséré, en 1890, au Tome I ( V série) du Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Camille Jordan, puis dans le Mémoire Sur les surfaces de translation et les fonctions abéliennes, inséré, en 1901, au Tome XXIX du Bulletin de la Société mathématique de France.

Nous allons donner du même problème une solution nouvelle qui n'exige aucune connaissance de la théorie des fonctions abéliennes et se recommande par une grande simplicité.