On peut évidemment le formuler comme il suit
Déterminer quatre systèmes de trois fonctions cV une même variable X/, Y,-, Z; tels que les trois équations
se réduisent à deux distinctes et laissent, par suite, subsister comme arbitraires deux des quatre variables dont dépendent les douze fonctions.
A chaque solution des équations (2) correspondent même, il est bon de le remarquer, trois solutions du problème, qui seront respectivement fournies par les équations
iVC = A.] — f- A-2 = -A.3 — -&4> 7= YiH-Y. = -Y,-Yt, 3 = Li\.-\~ Z2 = Z3 Z4 J
!x = Xi-+- X4 = — X2 — X3, y = Y1+Y4 = -Yï-Y3, z = ù\ — 1— Z<4 = — Zi2 — Z3 .
Pour résoudre les équations (2) dans les conditions qui ont été indiquées, différentions-les et posons
,,, d\t dZi
(6) dx^^ !Kryi-
SUR UNE CLASSE PARTICULIERE DE SURFACES DE TRANSLATION. l53
Nous pourrons admettre dans la suite que Xi n'est pas une constante. Il est toujours permis, en effet, de remplacer les équations (2) par les suivantes :
(7) sx;=o, sy£ = o, sz;. = o,
où Von a
l X;-= A Xi+B Y,+ C Z,,
(8) Yi = A'XI-HB'.Y/-KC'Z/, f Zi = A'X/+B'Y/-+-G'Z/,
les A, B, G, A', . . ., C" étant des constantes quelconques. Les nouvelles valeurs x'n y'-, de Xi, yt sont alors
, > , A'-t- B' Xj-+- C'yt , A"-+- B"g?/-h C",n
(9) Xi~ A-f-B^+CjK* ' ,r'~ A + B^+G//"
On peut donc effectuer sur les variables X;, yt la transformation homographique la plus générale. Cela revient à effectuer sur les surfaces définies par les équations (3), (4), (5) la substitution homographique la plus générale qui conserve le plan de l'infini. Ces remarques, dont nous aurons à faire usage, nous montrent, dès à présent, qu'on pourra toujours obtenir une valeur variable x\ de Xi, à moins que xi et yt ne soient constants tous les deux, auquel cas la courbe (Q) décrite par le point (X/, Y/, Zt-) serait une droite et ne pourrait qu'engendrer un cylindre par sa translation. Pour celte surface cylindrique, le problème que nous avons à résoudre ne se pose même pas.
93. Nous pouvons donc, dans ce qui va suivre, regarder xi comme variable et admettre que X/, Y/, Z; sont des fonctions de xi. Alors la différentiation des équations (2) nous donnera les suivantes :
(10) 2dX;=o, S^fi?Xt=o, ZytdXi^o,
yi étant comme les X/, Y,, Z; une fonction de Xi.
Pour que ces trois équations se réduisent à deux, il faut qu'on retrouve la troisième en ajoutant les deux premières après les avoir multipliées par des quantités convenablement choisies/? et q, c'està-dire qu'on ait
(11) p-h qxt= yt\
l5{ LIVRE I. — CHAP. X.
car il suffit de choisir/? et q de telle manière que les coefficients de rfX(, o?X2, par exemple, soient nuls; ceuxdeo?Xs, <iX/( devront l'être aussi.
Au reste, les équations (i i) ont une origine géométrique évidente. Elles expriment que les tangentes aux quatre courbes (C/) décrites par les points (X;, Y;, Z/) sont parallèles au plan tangent de l'une quelconque des trois surfaces représentées par les équations (3), (4), (5), plan tangent qui est défini par l'équation
(12) dZ=pdX +9f/Y.
Nous avons ainsi la signification géométrique de p et de q.
94. Il est aisé de voir que les surfaces cherchées ne sauraient être développables; car si q était fonction de/>, tous les xi, et par suite tous les X/, Y;, Z,, seraient fonctions d'une même variable; p et q sont donc deux variables indépendantes et les équations (i i) peuvent être considérées comme déterminant les xi en fonction de ces deux variables. Si l'on pose
(i3) yt=Mxt),
la différentiation des équations (i î) nous donnera
04) {fi^-q)dxi=dp-hXidq.
Il suit de là que Xi satisfait à l'équation aux dérivées partielles
z f s OXi OX[
(l5) Jq-=Xi^
qui joue un rôle essentiel dans notre analyse.
Comme X, est une fonction de Xi, on en déduit d'abord qu'on aura
dq dp
qu
doi
ce oui aonnera
)\ ■ (17) d&i= -^-(dp-+- xtdq).
Substituons ces valeurs des dX; dans les deux premières équations (10), la troisième n'ayant pas à intervenir puisqu'elle est une
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION. l55
conséquence des deux autres. Nous aurons quatre équations qui se réduiront aux trois suivantes :
(18) > — — = o, > cet— — = o, > xj — — = o,
jLu dp ^d dp jLd l dp
auxquelles il faudra joindre les équations (16).
95. Si l'on tient compte de ces relations (16), la première des équations (18) peut évidemment se mettre sous la forme
V dcl l dP
«Là xt— h '
où nous supposerons que h soit une constante quelconque. Posons
et différentions la relation précédente par rapport à p. Nous aurons à% *%r\ d f 1 dXA ^n à l 1 dX,
dp Âbà dp \X£ — h àq ) ^d dq \xi — h dp / àq
Ainsi 9 satisfait à l'équation aux dérivées partielles
. dB àd
et, par conséquent, on a
0 = F(h,p + qh).
96. Il reste à déterminer cette fonction de deux variables. Remarquons que, d'après les relations (18), le développement de 8 suivant les puissances négatives de h commencera au terme
en v£> Par conséquent, nous pouvons poser
(20 e = y i dXi ' = T
ÀsÀXi—h dp F (h, p -+- qh)y
F étant une fonction qui sera, quels que soient p et q, un polynôme du quatrième degré en h.
Pour qu'il en soit ainsi, il sera nécessaire et suffisant que sa
l56 LIVRE I. — CHAP. X.
dérivée cinquième par rapport à h soit nulle; en introduisant, pour plus de netteté, la fonction
p' = p-^-qh,
on sera conduit ainsi à la relation
d-5F d-F à"°F . dsF <J5F d*F
qui devra avoir lieu quel que soit q. Il faudra, pour cela, que les six dérivées de F par rapport à// et à h soient nulles et, par conséquent, que F soit un polynôme quelconque du quatrième degré par rapport à h et à p'. On aura donc
F = F(h,p^-qh),
le second membre étant un polynôme quelconque du quatrième degré par rapport aux variables h el p -+- qh.
Ce résultat nous suffit. Car si, dans l'équation (21), on fait a?/= /i, on a nécessairement
(22) F(x;, p -+- qxt) = F(a?j-, yf) = o.
Ainsi, xi et yt sont liés par V équation la plus générale du quatrième degré.
Si l'on remplace a?/, yt par leurs valeurs (6), l'équation précédente prend la forme
et nous conduit immédiatement au résultat fondamental de Lie :
Les parallèles menées par un point jixe aux tangentes de Vune quelconque des courbes (Ci) sont les génératrices d' 'un cône algébrique du quatrième ordre.
97. Pour achever la solution du problème, il ne reste plus qu'à
déterminer les fonctions Xj, Y,-, Zj. On y parvient comme il suit :
Si, dans l'équation (21), on multiplie les deux membres par
Xi — h, on voit immédiatement que — - est la vraie valeur de
1 dp
tj — h
F (h, p -+- qh)
SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION. l57
lorsque h tend vers x-L. On a donc, en prenant le rapport des dérivées relativement à h et faisant h = xi,
dXt — i
dp àF(x,-, n) àF{xu yt) — ■ H- q — -
Si donc on tient compte de la relation (16), il vient ,v àXt , dXi . dX,- J N
dXi = -^ dP ■+■ -^ d9 = -^ (dP + Xt dq ),
ou encore
, dp + X; dq
dxt " dyt
En différentiant, d'autre part, la relation
yi = p + qxi, on trouve
dyt — q dxt = dp -+• xi dq .
L'équation (a3) peut donc s'écrire
q dx; — dyt
dXi=W W
dxt x dyt
Le second membre est indépendant de q, et l'on a enfin
dxt — dyt
(24) dXr-
dF ' dF dyt dxt
Si l'on tient compte des relations (6), on aura, de même, /n ,v xidxi yidxi
Ainsi, les X/, Y4, Z; sont les trois intégrales abéliennes de première espèce attachées à la courbe du quatrième ordre représentée par l'équation (22).
98. Remarquons, d'ailleurs, qu'en reprenant notre démonstration en sens inverse, on établira pour cette courbe le théorème d'Abel, dont nous n'avons pas, par conséquent, à faire état.
Considérons, en effet, la courbe
(•26) F(x,jr) = 0
et coupons-la par la droite
(27) y=p + qx;
nous aurons une équation du quatrième ordre en x
(28) F(#, p -+- qx) = 6(2?) = o,
qui déterminera les points d'intersection de la courbe et de la droite. Si l'on désigne ses quatre racines par x^^x*, xz, xA, on aura les identités
(29) 2ê^)=°' 2ôW)=o' 2f^)=o-
Or, différentions cette équation (28) en y faisant varier p et q. Nous aurons
(3o) G'(#j) dxi-h - — F(a?j, yC) (dp -h xtdq) = o.
Si nous remarquons qu'en vertu des identités (29), nous avons
2 dp -4- Xi dq ^ dp -+- xi dq
(Xi) ' À* • O'(^)
<i/> -1- ^/ dq ^i dp -+- a?; dq
=^dip^-q^i)
V(Xi) ^v^ » *' e'(^)
nous trouverons précisément, en tenant compte de la relation (3o), . „ . ^ dxi "V^ &i dxi "V1 Yi dxi
(oI) 2w- = 0' z-w- = 0> 2^f- = 0-
d.x* <tKi ^
C'est le théorème d'Abel. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante, qui donne la solution complète du problème proposé :
Pour obtenir la solution la plus générale du problème de Lie, on prendra une courbe quelconque du quatrième ordre
Les fonctions X,, Yz-, Z; qui figurent dans les formules (3),
