SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION

(4), (5) seront les intégrales abéliennes de première espèce relatives à quatre points de la courbe situés sur une même droite variable.

99. Les résultats que nous avons obtenus subsistent quand la courbe du quatrième ordre se décompose. Nous allons dire quelques mots des différents cas qui peuvent se présenter, renvoyant pour plus de détails à l'Ouvrage de Lie : Géométrie der Beruhrungstransformationen, Erster Band, 1896.

Remarquons d'abord que nous pouvons parler indifféremment, soit de la courbe du quatrième ordre, soit du cône engendré par les parallèles menées d'un point fixe aux tangentes des courbes (G/).

Supposons d'abord que ce cône se décompose en un plan et en un cône indécomposable du troisième ordre. Une des courbes (C,) sera plane; mais il n'y aura, comme dans le cas général, que deux modes de génération pour chacune des surfaces représentées par les équations (3), (4), (5).

Si le cône se décompose en deux cônes du second degré qui soient eux-mêmes indécomposables, il est facile de mettre en évidence, pour une des trois surfaces représentées par les équations (3), (4), (5), une infinité de modes de génération. Soit alors, en effet,

A et B désignant les facteurs du second degré, et supposons que les courbes (Ci), (C2), par exemple, correspondent aux solutions de l'équation

Alors on aura

(33) A(x1,yl) = o, A(#2, .72) = o, B(ars, y3) = o, B(a?4, yk) = o.

Les intégrales relatives à l'une ou à l'autre des courbes (Ci), (G2) sont données par les formules

dXi dYi dZi dxt

— = — = 77 = ^~^H^Jû'

On voit immédiatement qu'elles ne changent pas si l'on substitue,

l6o LIVRE I. — CHAP. X.

au polynôme, B(a?, y) de l'équation (3a), le suivant : B(a?, y) — pA(x,y),

où o désigne une constante arbitraire.

L'introduction de cette constante change évidemment les expressions de X3, Y3, Z3, X*, ^4, Lk ; de sorte qu'à un même couple de courbes (Ct), (Co) correspondent une infinité de couples (C3),

Ainsi, celle des trois surfaces qui estreprésentée par l'équation (3) admet une infinité de modes de génération.

100. Pour développer le calcul dans ce cas particulier, nous rappellerons que l'on peut effectuer sur les variables x et y la transformation homograpliique la plus générale, cette transformation n'ayant d'autre résultat que de soumettre la surface elle-même à une transformation homographique qui conserve le plan de l'infini. En faisant usage de cette remarque, on verra facilement qu'on peut donner à A et à B les expressions suivantes :

A- (a?, y) = b y(i — x) — ax(i — y), B(ar, y) = b'y{i — x) — a'x(\ — y),

où «, 6, a', b1 désignent des constantes quelconques.

Les intégrales relatives aux courbes (C| ), (C2) sont données par des formules telles que les suivantes :

dX( d\ i cVLi dxi i

i xi yt b{\ — xi) -+- axi B (27, yt)

Posant

b yi axi — ^- = = u,

1 — yi » — xi on trouve pour cDL;: clY;, dZi les valeurs suivantes :

/cdXi=^, kdYi=-^-, kdZt= du

II II -r- Cl U -J- b'

où l'on a

h = ab' — ba' .

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE SURFACES DE TRANSLATION. l6l

La surface correspondante est déterminée par les formules

kx = Log A uv,

ky = LogB ( u -+- a) ( v ■+- a),

k z = Log C(M-4-è)(p + è),

A, B, C désignant des constantes auxquelles on peut donner telles valeurs que l'on voudra par un déplacement de l'origine des coordonnées. En faisant une transformation homothétique et introduisant plus de symétrie dans les notations, on aura les formules

définitives

(a — b) (a — c) ( u — b > ( c — b ) (b — a ){b — c ) ' (il C ) ( V — c )

(c — a) (c — b) qui montrent que la surface est représentée par l'équation

(35) ev-+- ey -\- ez = i

et qui mettent en évidence ses divers modes de génération.

On peut prendre pour a et b les valeurs o et i, par exemple, de sorte que les formules (34) ne contiennent au fond qu'une constante arbitraire.

CHAP. I. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. l63