Voici encore une autre application de la formule

Considérons les surfaces pour lesquelles les coordonnées cartésiennes a?, y, z sont définies, en fonction de deux variables p, pt, par les expressions suivantes :

i x = A (p — a)m(p1— a)'1, (33) r = B(p-*)m(pi-*)".

Je dis d'abord que les courbes (p), (p,) tracent sur ces surfaces un système conjugué. On vérifie, en effet, que les trois coor-

données satisfont à l'équation

c)2Q . dO dl)

(34) (p — pt)-r-j i~w3r — »ii7-=°-

1 ' ■ wo opi dp opi

Jl suit de là que, si Ton cherche l'équation des lignes asymptotiques en appliquant la formule (25), cette équation ne contiendra pas de terme en dodz{. En faisant le calcul, on obtient, en effet, l'équation différentielle

m (m — r) c?p2 n(n — ï) do\

(a — p)(b — p)(c — p) (a — pi)(6 — pi)(c- pi)

qui s'intègre dans tous les cas par des quadratures, mais dont l'in-

i i o • i r • i . rn ( m — i) tegrale est algébrique toutes les lois que le quotient ■' est

1 l l n ( ii — i )

Je carré d'un nombre commensurable.

Dans le cas particulier où m est égal à n, on peut éliminer p, p, et trouver l'équation de la surface, qui est

-j (è-c)+^J (c tt) + ^) (a ô) = (a-fc)(6-c)(a-c).

On reconnaît les surfaces tétraédrales, dont Lamé a commencé l'étude dans son Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de Géométrie, publié en 1 8 1 8, et qui, depuis, ont été l'objet des travaux de nombreux géomètres, parmi lesquels il faut citer plus particulièrement J. de la Gournene. L'équation (35) se réduit alors à celle qui a été intégrée par Euler et qui donne l'addition des fonctions elliptiques. Parmi les formes si nombreuses que l'on peut donner à son intégrale, nous choisirons la suivante :

^\/(0~V(r~a)^^[/{,~b}(?rb)^^[/<?~c)(?i~'

où x, [3, y désignent trois constantes arbitraires dont la somme est nulle.

En changeant légèrement les notations, cela donne le résultat suivant :

Les lignes asymptotiques de la surface tétraédrale

A/ ' VB7 ' VG .'

204 LIVRli II. — CI1AP. II.

sont déterminées par V équation

nulle. Leurs projections sur un des plans coordonnés, le plan des yz par exemple, ont pour équation (*)

Les formules (33) déterminent un grand nombre de surfaces différentes; elles conviennent, en particulier, à la surface de Steiner pour m = n= 2, à la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde pour m = - > n = -, •••• Nous remarquerons qu'elles conservent la même forme, lorsqu'on substitue les coordonnées tangentielles aux coordonnées ponctuelles. Soit, en effet,

«X + cY + ci'Z — 1 = 0

l'équation du plan tangent; u, v: w seront déterminés par les trois

équations

11 x -+- PJ" -1- w z = 1 ,

U 1- V -f h Vf -r- =0,

00 op dp

nii donnent

dr d>' t);

1 p ^ h(Pj

op 0p Of

d.r oV d^

dpx dpt dp!

(0 — a )1-'"( pi — a)1-" A (a — à) (a — c) (p — è)1-'"(p1 — by-/i V ~ B(b — a)(b — c) ' (p — c)l-'"(pi — c)l~n

L(c — a ) ( c — b ) Si, en particulier, on a

(l) Les lignes asymplotiques des surfaces tétraédrales ont été déterminées en premier lieu par S. Lie [voir l'article Ueber die Reciprocitàts-Verhàltnisse des Beye'schen Complexes {Gôttinger Nachrichten, 1870, p. 53-66)]. La méthode indiquée ici a été développée par l'Auteur dans le Bulletin des Sciences mathématiques, ire série, t. I, 1870, p. 355.

on obtient des surfaces qui coïncident avec leur polaire réciproque par rapport à la surface du second degré

Dans ce cas encore, l'équation différentielle des lignes asymptotiques se réduira à celle d'Euler (').

119. En terminant ce sujet, nous indiquerons, entre la théorie des lignes asymptotiques et celle des équations linéaires aux dérivées partielles, des rapprochements analogues à ceux qui font l'objet des nos 107 et 115. Une famille de lignes asymptotiques pouvant être considérée comme un système qui est à lui-même son propre conjugué, le théorème du n" 115 nous donne immédiatement le suivant :

Si les coordonnées x,y, s, t ou m, v, <^,/?, considérées comme des fonctions de a et de ,3, satisfont à une équation linéaire de la forme (16) pour laquelle les caractéristiques sont confondues, les caractéristiques de cette équation tracent sur la surface une des deux familles de lignes asymptotiques. En particulier■, si les coordonnées satisfont à une équation de la forme

0^ du dp

les lignes a = const. sont asymptotiques.

Cette dernière partie de la proposition se vérifie immédiatement, à I inspection de l'équation (23), dans laquelle le coefficient de <:/3- devient nul, en vertu de l'hvpothèse.

Toutes les fois que l'on aura une équation linéaire de la forme (36) et que l'on en connaîtra quatre solutions linéairement indépendantes, le théorème précédent permettra d'obtenir une surface sur laquelle on connaîtra une des deux familles de lignes asymptotiques.

(l) On pourra consulter une Note sur les lignes asymptotiques de la surface des ondes [Comptes rendus, t. XCVII, i8S3, p. 1009) où l'on trouvera une généralisation de la méthode qui est employée dans les derniers muméros de ce Chapitre

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