CHAPITRE III
Division de la surface en carrés infiniment petits. Elle ne peut se réaliser qu'avec les systèmes isothermes. — Relations entre les systèmes isothermes et les coordonnées symétriques. — Sur toute surface, il existe une infinité de systèmes orthogonaux et isothermes. La connaissance d'un seul de ces sjrstèmes entraîne celle de tous les autres. — Problème des Cartes géographiques. Sa solution pour toute surface de révolution et, en particulier, pour la sphère. — Projection de Mercator. — Projection stéréographique. — Surfaces du second degré. Leurs lignes de courbure forment un système isotherme pour lequel l'élément linéaire a une forme particulière qui se retrouvera dans la théorie des lignes géodésiques. — Différents moyens de faire la carte d'une portion d'ellipsoïde. — Propriétés générales des systèmes isothermes. — On peut se borner à étudier dans le plan tout ce qui concerne la substitution d'un système isotherme à un autre. — Relations diverses entre les fonctions d'une variable complexe et les systèmes isothermes. — Courbes d'égale partie réelle et d'égale partie imaginaire de la fonction. — Courbes d'égal module et d'égal argument. — Définition de quelques systèmes isothermes employés en Physique mathématique. — Cassiniennes. — Ovales de Descartes. — Détermination de tous les systèmes isothermes comprenant une famille de cercles. Dans ce cas la famille isotherme conjuguée est aussi composée de cercles; et les cercles de chaque famille ont même ïixe radical. On peut obtenir tous ces systèmes isothermes en appliquant l'inversion, soit au système de coordonnées rectilignes, soit au système de coordonnées polaires.
120. Après avoir donné les propriétés les plus simples des systèmes conjugués, nous allons considérer les systèmes orthogonaux et, plus particulièrement, les systèmes à la fois orthogonaux et isothermes. Nous recherchons d'abord tous les systèmes de coordonnées orthogonales permettant de diviser la surface en carrés infiniment petits.
Soit
ds9- = A?du2->r&dt>2
l'expression de l'élément linéaire; A et C seront des fonctions données de u et de v
A =/(«, «>), G = cpO, v).
Considérons {fi g- 7) quatre lignes coordonnées de chaque famille : (A), (A,), (B), (B,), correspondantes aux valeurs
«Oî Uç-lr-dltQi U, U-\rd.U
de u, et (G), (G)), (D), (D,), correspondantes aux valeurs
v0, Vo-^cIvq, p, v -+- dv
de v. Elles déterminent évidemment quatre rectangles infiniment petits (1), (2), (3), (4)- Cherchons s'il est possible de disposer de
du, dv, du0, dv0, de telle manière que ces rectangles soient tous des carrés. La considération de chacun d'eux nous donnera les relations
/Oo, v<>) da§ = ç(«0, v0) dv0, co(i<0, v) dv = /(«„, v) du0, ©( u, v0) dv0 = /(w, Vo) du, f(u, v) du = f(u, v) dv.
Ces équations, au nombre de quatre, ne contiennent que trois inconnues, les rapports de du, dv, du0, dv0. L'élimination de ces rapports conduira à une condition, que l'on obtient d'ailleurs immédiatement en multipliant membre à membre toutes les équations. On trouve ainsi
/(MO, V0)f(u, v) f(ll, V0)f(Uo, v)
to(u0, M <p(«, v) <p(w, v0\y(u0, v)
2o8 LIVRE II. — CHAP. III.
Donnons, dans cette relation, à u0 et à r0 des valeurs numériques quelconques. Elle prend la forme
/(», v) OU) cpO, v) ~ 0i(i>)'
et, par conséquent, on devra avoir
C = cp(M, v) = A Ô^O),
X désignant une fonction quelconque de u et de p.
Si l'on substitue ces valeurs de A et de C dans l'élément linéaire, on obtient la nouvelle expression
ds* = X2[62(«) tfM2-+- 8}(i>)rfp«] ou, plus simplement,
(i) ds-2=ln-(du]-+-dv]),
en posant
Ml=id(u)du, p1=/01(p)
rfp
Réciproquement, toutes les fois que l'élément linéaire pourra être ramené à la forme précédente, la surface, nous le savons (n" 60), sera divisible en carrés infiniment petits par les lignes coordonnées.
121. Nous avons déjà rencontré plusieurs surfaces sur lesquelles il existe des systèmes orthogonaux et isothermes : nous allons maintenant démontrer que l'élément linéaire d'une surface quelconque peut, d'une infinité de manières, être ramené à la forme (1). Pour comprendre la méthode suivante, il suffît de remarquer que, si l'on substitue à wl5 V\ les variables complexes
a = ?£[-;- jV1; !3 = »! — iVi,
la formule (1) se présente sous la forme
(2) ds-= A2 da. d$.
Cela posé, considérons une surface quelconque dont l'élément
linéaire soit donné sous la forme la plus générale ds2 = E du- ■+- 2 F du dv + G (/c2.
Posons, pour abréger,
