H2= EG— F
et excluons le cas, qui, d'ailleurs, ne peut se présenter pour des surfaces réelles, où EG — F2 serait nul et où l'élément linéaire serait un carré parfait ('). On pourra décomposer l'élément
(*) L'élément linéaire n'est un carré parfait que dans le cas où la surface est une développable circonscrite au cercle imaginaire de l'infini. En effet, supposons que l'on ait
ds- = ( m du -+- n dv)-.
Soit - le facteur qui rend h
ni du -r- n dv
une différentielle exacte.
On pourra poser
— A 2 rl9.1 ■
(1) ds2-=h?d
h sera une fonction de p et d'une seconde coordonnée curviligne a permettant de définir, avec p, les différents points de la surface. Les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point quelconque de la surface devront satisfaire aux deux équations
/ (dxy (dy\2 /AsV
j Ox <)x dy dv dz dz
I K -f- -£- -ir H ô = o.
1 dx Op Oo. Op d'J. Op
En dilTérentiant la première par rapport à a et à p, on obtient
, àx à'1 x dy à2 y Oz 02z
] doi. dx.2 Ox Ox2 O'x dm.2
) dx ()'■ x dy o2y ôz (Pz
' dy. dx dp Ov. da. dp d* d'J. dp
Si l'on différentie la seconde des formules (2) par rapport à a, on aura, en tenant compte de la seconde équation (3),
. ox d2 x dy 02y oz o2 z
dp Ox- ' dp 0<il ' ~&p Ox2 ~~
La comparaison des équations précédentes nous montre que l'on aura deux solu- D. — I. i4
linéaire en deux facteurs et écrire
ds* = ( JE du -a = — dv f JE du h — — dv
tions différentes des équations homogènes en j<, v, w dx dv dz
cte C>K d-3
dp cp dp
si l'on prend, soit '
àx i)y 'îz
soit
On doit donc avoir
d'où l'on déduit, en intégrant,
Si l'on désigne par -r — la valeur commune de ces rapports, on aura
| tf=/(P)«r+? (P),
(6) jy=/i(P)«'+?i(P),
( s=./2(P)a'+cp2(P).
Ecrivons que ces valeurs de a?, jr, s satisfont aux équations (2), nous trouverons
î/(-P)-T'(P)+/i(P)?'i(P)+/i(f)Ti<P) = *-
Si l'on ajoute les équations (6), après les avoir multipliées par /(P), /i(P)> /2(P) respectivement, on aura
(8) /(P)^+/i(P)r+/a(P)*=/?+/iTi+/i?î-
Si on les multiplie par /", /(, /2, on trouvera de même, en les ajoutant,
*/'(P)+jr/i'(P) + */i(P) = <p/'+<Pi/i' + r».A»
ou, en tenant compte de la seconde équation (7),
L'équation (9) s'obtient en prenant la dérivée de l'équation (8) par rapport à p.
rPx
da-
rV-x
da-
da2
dx
rf5 '
da
Etnt,
dx
da
da
da
Si nous égalons à zéro successivement les deux fadeurs, nous aurons deux équations différentielles. Soient
cp(«, c) = a, ^(u, f>) = p
La surface est donc l'enveloppe du plan défini par l'équation (8). Or, d'après la première des formules (7), ce plan est tangent au cercle de l'infini.
Les seules surfaces pour lesquelles l'élément linéaire soit un carré parfait sont donc les développables circonscrites au cercle de l'infini. Les arêtes de rehaussement de ces développables sont des courbes dont toutes les tangentes rencontrent le cercle à l'infini et qui satisfont à l'équation
dx2-\- dy2 -\- dz2 = 0.
Mais il y a lieu de faire ici une distinction entre le plan isotrope, le cône isotrope et la développable isotrope la plus générale formée par les tangentes à une courbe isotrope.
Pour le plan isotrope, l'élément linéaire est le carré d'une différentielle exacte. Si l'on prend, par exemple, le plan défini par l'équation
x -+- iy = o, on a
(10 ) ds-= dz2.
Pour le cône isotrope, qui, nous l'avons vu, peut toujours être défini par les
équations
x = u2 — v2, y = i ( u2-\- (--), z = 2in\ on a
(11) ds2=h(udv — v du)2.
Enfin, pour la développable isotrope engendrée par les tangentes à une courbe isotrope, on peut définir un point de cette courbe par les formules
x1=f{i — a2)/(a)c?a, yx = i |(i -+- 7} )/( a) dot, z, = 2 |a/(a) du,
f(z) désignant une fonction arbitraire de a. Un point de la surface sera donné par les formules
x = xtr+- (1 — 2- A, y = y^+ ii1 -+- «2 )^> z=zl-\-2aiki
où a est une nouvelle arbitraire, et qui donnent
(12) ds2=^V dot?.
On voit que les formules (11) et (12) peuvent toujours être ramenées l'une à l'autre par la substitution
où F désigne une fonction arbitraire. Ainsi, toute développable isotrope non plane est applicable d'une infinité de manières sur le cône isotrope et, par conséquent, sur elle-même, ses génératrices rectilignes demeurant rectilignes.
Au contraire, le plan isotrope ne peut être appliqué que sur un autre plan isotrope. C'est donc une surface rigide, qu'il est impossible de déformer.
les intégrales de ces équations ; elles définiront deux familles de lignes imaginaires tracées sur la surface et dont l'arc sera égal à zéro. On aura, comme on sait,
d% — i± I y/Ë du H — — dv
dfi = v ( /ë du H — — dv
u. et v étant des facteurs convenablement choisis; a, j3 sont évidemment des fonctions de u et de v indépendantes l'une de l'autre, car leur déterminant fonctionnel
— i [xv i H
est différent de zéro. Si on les prend comme nouvelles variables, la multiplication des deux formules précédentes nous donnera, pour l'élément linéaire de la surface, l'expression
ds- —- — d% c?3
