sin 6 = — - M!M4 M2M4 M4 M3 M2M
Supposons que M2 vienne coïncider avec M, et M4 avec M3, les arêtes M(M2 et M3M4 deviendront les tangentes aux points M,
et M3; leur angle G aura pour valeur approchée — - — - et la formule précédente nous donnera
C'est l'expression que Ossian Bonnet a donnée pour la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines.
7. Revenons à la méthode du trièdre mobile. On peut en faire dériver les principales propriétés des courbes gauches.
Considérons, par exemple, un point du plan normal et soient o, y, z ses coordonnées relatives au trièdre(T).
Les composantes de son déplacement sont
(3g) Dx=(i — ry)ds, Dy= dy—pz ds, Ds= dz -+- py ds.
La droite de contact de ce plan normal avec son enveloppe sera évidemment le lieu des poinls pour lesquels le déplacement est parallèle au plan, c'est-à-dire pour lesquels D.£= o. On retrouve ainsi les équations
de la. droite polaire. Pour avoir le point où celle droite touche
l'arête de rebroussement de la surface polaire, il faut joindre à l'équation précédente la condition
tï -i 1 dy dp
D,.= o, qui donne z = 7- = x -—•
J p ds ds
Les mêmes formules (3g) permettent également de déterminer les développées de la courbe gauche, c'est-à-dire les courbes (D) dont les tangentes sont des normales de (C). On les obtiendra toutes évidemment en exprimant que la vitesse d'un point du plan normal est dirigée vers le point M. On a ainsi les deux équations
0^=0, ou y = p,
z dy — y dz ds yDy — yT)z = o,
En intégrant, on a
et, par suite, (4o)
Ces équations renferment toute la théorie des développées. On voit que ces courbes sont toutes tracées sur la surface polaire et que les normales de la courbe qui enveloppent deux développées différentes font entre elles un angle constant. Réciproquement, si deux normales à la courbe font un angle constant et si l'une enveloppe une développée de la courbe, il en est de même de l'autre.
Il résulte de là que l'on peut déterminer sans quadrature les développées d'une courbe plane ou sphérique, et, en général, de toute courbe dont on connaît déjà une développée.
8. Considérons maintenant le plan passant par la tangente et perpendiculaire à la normale principale, c'est-à-dire le plan désirs du trièdre ( F). On lui donne quelquefois, d'après Lancret, le nom de plan rectifiant. Soient x, o, z les coordonnées d'un de ses points. Les composantes du déplacement de ce point seront
(41) Dx=dx-\-ds, Dy=(rx — pz)ds, Dz—dz.
arc tang
r ds
y = z tanj
La droite de contact de ce plan avec son enveloppe sera donc définie par les équations
(42) y = o, rx — ps = o,
qui montrent qu'elle est parallèle à l'axe du déplacement instantané.
Le point de contact de cette droite, dite rectifiante, avec la courbe qu'elle enveloppe s'obtiendra en joignant aux équations précédentes la suivante :
rD2 — pDz= o ou r(dx -+- ds) — pdz = o.
En dilFérentiant la seconde équation (42)i on a r dx — p dz = — x dr 4- z dp.
On peut donc éliminer dx, dz et il suffit, pour avoir le point de contact, de joindre aux deux équations (42) la suivante :
— 7' ds -{- x dr — z dp = o, ce qui donne
pr ds r2 ds
p dr — r dp p dr — /• dp
Telles sont les coordonnées du point de contact de la droite rectifiante avec la courbe à laquelle elle demeure tangente. Ces coordonnées deviennent infinies si l'on a
r dp — p dr = o,
c'est-a-dire si le rapport — est constant, et dans ce cas seulement. Alors la droite rectifiante engendre nécessairement un cylindre et, comme elle fait un angle constant avec la tangente à la courbe, celte courbe est une hélice tracée sur un cylindre quelconque.
Ainsi toute courbe pour laquelle le rapport - est constant est une hélice tracée sur un cylindre quelconque.
Lorsque p et x sont l'un et l'autre constants, cette hélice est tracée sur un cylindre de révolution. Dans ce cas, en effet, l'axe instantané du déplacement infiniment petit défini par les équations
1 — /• y py
— = -^-7-7 rx — pz = o,
occupe une position invariable par rapport au trièdre (T) et, par suite, est fixe clans l'espace absolu. Alors tous les points du système mobile et, en particulier, l'origine du trièdre décrivent des hélices tracées sur des cylindres circulaires droits.
Ainsi, toute courbe pour laquelle p et -: sont constants est une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit.
9. Dans le mouvement que nous venons d'étudier, trois des six quantités ç, t,, "Ç, />, q, r sont nulles. -Nous allons montrer que, réciproquement, si l'on a
n = TT = q = o,
l'origine du trièdre décrit une courbe qui est tangente à l'axe des x de ce trièdre et admet Taxe des y pour normale principale. Le premier point résulte immédiatement des équations
D'autre part, la composante q étant nulle, nous avons à la
fois
Y.ca = o, Se da = o.
L'axe des z du trièdre mobile est donc normal à deux positions consécutives de l'axe des x. En d'autres termes, le plan des xy est le plan osculateur de la courbe décrite par l'origine des coordonnées.
En réduisant toutes les vitesses dans un même rapport, de manière que jj devienne égal à i , on doit remplacer^?, r par|-» -• La
courbure et la torsion de la courbe sont données par les formules
10. La méthode cinématique que nous venons d'exposer s'applique d'une manière élégante à la solution du problème suivant, résolu parJ. Bertrand : Rechercher s'il existe une courbe dont les normales principales soient aussi normales principales d'une autre courbe.
Soient M un point de la courbe donnée (C) et (T) le trièdre relatif à ce point. Si l'on porte sur la normale principale une Ion-
22 LIVRE I. — CIIAP. I.
gueur MM'= a, la vitesse du point M'aura pour composantes
da
i — ra, —r- , pa as
suivant Mx, My, Mz respectivement ; cela résulte des formules (3o,). Si l'on veut que la courbe décrite par M' soit normale à MM', il
faudra que l'on ait
da
dl = °'
a devra être constant : ce résultat était évident et nous aurions pu l'admettre a priori.
Alors la vitesse v de M' est perpendiculaire à My et, si l'on appelle w l'angle qu'elle fait avec Mx, on a
v cos w = 1 — ra, v sin io = pa.
Mais si la droite MM' est normale à la courbe (C) décrite par le point M', elle n'est pas, en général, normale principale de cette courbe. Construisons le trièdre (T') formé par la tangente M' x' à (C), par la droite M'y et par la perpendiculaire commune à ces deux droites. Comme le trièdre (T) et le trièdre (T') ont même axe des y, on voit qu'on aurait un trièdre ayant même orientation que (T') en faisant tourner le trièdre (T) de l'angle — co autour de son axe des y. On obtiendra donc la rotation instantanée du trièdre (T') en composant les deux rotations p et r autour des
axes des x et des z du trièdre (T) avec la rotation — -j- autour
de M y.
Or, la condition nécessaire et suffisante pour que la droite Mj ou M'y soit normale principale de la courbe décrite par le point M' est, nous l'avons vu, que la composante de la rotation de (T') autour
de 'M'y soit nulle. Cette composante étant évidemment — -r-,
1 ds
puisque les axes des rotations p et r sont normaux à My, il
faudra qu'on ait
d u> ds
et, par suite, que l'angle co soit constant. Ainsi les plans oscula-
teurs des courbes décrites par les points M, M' devront se couper sous un an s; le constant w.
Si l'on se reporte maintenant aux formules (45), on en déduit, par l'élimination de v,
sinw
= /• sin (o + p cosco
ou, en remplaçant /• et p par leurs expressions géométriques,
, ,„. sin to sin w cosio
api
Il y a donc une relation Linéaire entre les deux courbures.
11. Réciproquement, s'il existe une relation linéaire entre les deux courbures
la courbe jouira en général de la propriété indiquée. On identifiera la relation précédente avec l'équation (46), et l'on aura
a = -=r j cot co = — •
Signalons cependant deux cas d'exception :
Si l'on a G = o, sans que A soit nul, la relation entre les courbures prend la forme
- = const.,
et a devient infini. Ainsi la seconde courbe, lieu de M', est rejetée à l'infini. La courbe proposée est alors une hélice.
Si Ton a A = o, c'est-à-dire si la courbe a une torsion constante, a est nul, et les deux courbes lieux de M et de M' se confondent.
On peut avoir plus de deux courbes ayant les mêmes normales principales : i° si la valeur de a est indéterminée, c'est-à-dire si l'on aA = C = o; dans ce cas la courbe sera plane; 2° s'il y a plus d'une relation linéaire entre les courbures, c'est-à-dire si les deux courbures sont constantes ; dans ce cas l'équation (46) sera vérifiée pour toute valeur de a et fera connaître co. Toutes les trajectoires orthogonales des normales admettront ces droites comme normales
principales. La courbe primitive, et par conséquent toutes les autres, seront des hélices tracées sur des cylindres circulaires droits; la surface engendrée par les normales principales sera l'hélicoïde gauche à plan directeur.
Revenons au cas général et cherchons les deux courbures de la courbe (C). Le trièdre (T7) relatif à cette courbe est invariablement lié au trièdre (T). Il suffira donc, pour avoir les composantes p', /•' relatives au trièdre (T7), de projeter les rotations p et /• sur les axes de (T7). Cela donne
p '= p cosio -+- r sin w, r' = — p sin w -+- r cos co.
Or, on a, d'après les formules ^44\ en désignant par —, — les deux
courbures de (C),
Les relations précédentes nous donnent donc, par la substitution des expressions de p, q, />', q',
formules auxquelles il faut joindre les équations (45), écrites sous la forme
//ON a ■ a
(4o) v cosco =i j v sin co = — •
Ces quatre formules contiennent toutes les relations entre les deux courbes. On en déduit, par exemple, les deux suivantes
/ , , cos « a sin u> a
qui montrent bien la réciprocité entre les deux courbes (C) et(C') et peuvent remplacer les équations (47)- L'élimination de - donne la relation
, „ . sin w sin w cos w
COSO)
sin m
sin a)
cos w
entre les deux courbures de (C). Elle se déduit de la relation (46) par le changement de a en — a et de to en — to.
L'un des cas particuliers les plus intéressants avait été déjà signalé et étudié par Monge ('). C'est celui où les plans osculateurs des deux courbes sont perpendiculaires. On a alors
Chacune des deux courbes (G) et (O) est le lieu des centres de courbure de l'autre et, aussi, le lieu des centres des sphères osculatrices à l'autre.
12. Nous terminerons ce que nous avons à dire sur les courbes de Bertrand en signalant entre les courbes conjuguées (C), (C), une relation qui a d'importantes applications.
Considérons le mouvement du trièdre (T)lié à une courbe quelconque (C). Si l'on applique les remarques développées au n° 3, on verra que ce mouvement peut être considéré comme résultant de la composition des deux suivants :
L'un, pour lequel on a
(') Monge, Supplément où r on fait voir que les équations aux différences ordinaires, pour lesquelles les conditions d'intégrabilité ne sont pas satisfaites, sont susceptibles d'une véritable intégration et que c'est de cette intégration que dépend celle des équations aux dérivées partielles élevées (Mémoires de l'Académie Royale des Sciences pour l'année 1784 , p. 536 et suiv.).
Ce beau travail vient compléter, comme l'indique son titre, le célèbre Mémoire sur le Calcul intégral des équations aux différences partielles, publié dans le même Volume (p. 118), et où se trouvent les premières recherches de Monge sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima. Monge fait voir, dans le Supplément, que, si une courbe a un rayon de courbure constant, le lieu des centres de courbure jouira de la même propriété et aura ses centres de courbure sur la courbe primitive. De plus, les plans osculateurs des deux courbes aux points correspondants seront rectangulaires. Mais le procédé que Monge fait connaître, pour la détermination de l'équation en termes finis des courbes dont la courbure est constante, est évidemment inexact. Les équations finies que donne l'illustre géomètre contiennent, en effet, deux fonctions arbitraires que Monge regarde comme indépendantes, bien qu'il ait démontré, quelques pages auparavant, qu'elles sont liées l'une à l'autre par une équation différentielle.
L'autre, pour lequel on a
Or, ces deux mouvements se réduisent à deux rotations : l'une s'effectuant autour de la droite
y = o, r' x — pz = o,
qui passe à l'origine et se trouve dans le plan rectifiant ; l'autre s'effectuant autour de la droite
parallèle à la binormale.
De là résulte que, dans le mouvement du trièdre (T), toute droite du plan rectifiant passant par le point de la courbe a pour conjuguée une parallèle à la binormale située dans le plan normal.
Appliquons cette remarque au cas où (C) est une courbe de Bertrand et conservons les notations précédentes. On verra facilement, en tenant compte de la relation (46), que la droite du plan rectifiant de (C) menée perpendiculairement au plan oscillateur de (C) a pour conjuguée la perpendiculaire au plan oscillateur de (C) menée par le point de (C).
Ainsi, si l'on considère les deux points correspondants M, M' de (C) et de (C) et que, par chacun d'eux, on mène une perpendiculaire au plan oscillateur de la courbe décrite par l'autre, les deux droites ainsi obtenues sont des axes conjugués dans le mouvement des deux trièdres, invariablement liés l'un à l'autre, qui sont attachés aux deux courbes (C) et (C).
Cette proposition joue un rôle fondamental dans l'élude approfondie des courbes de Bertrand. On pourra consulter à ce sujet notre Mémoire Sur un problème relatif à la théorie des courbes gauches, inséré dans le Tome L des Mémoires de l'Académie des Sciences.
SUR L INTEGRATION DU SYSTEME LINEAIRE. 27
