XV
ou, en changeant les notations,
(4) ds*=l*doi.d$.
Nous aurons souvent à employer le système des variables a, [3, qui ont reçu le nom de coordonnées symétriques. Dans le cas d'un élément linéaire réel, on peut évidemment faire en sorte que les variables a et [3 soient imaginaires conjuguées, ainsi que les facteurs u. et v. Supposons, par exemple, que l'on ait obtenu des fonctions a et u. vérifiant la première équation (3); si l'on change ï en — i, on voit que les imaginaires conjuguées de a et de u. donneront une solution de la seconde équation.
Supposons que l'élément linéaire ait été mis de deux manières différentes sous la forme (4) et que l'on ait à la fois
( 5 ) ds*- = X2 d% a?p = X'2 da! d$' .
Nous allons montrer que cette équation ne peut avoir lieu que si a', j3' dépendent respectivement d'une seule des variables a, (3.
En effet; si l'on suppose a', (3' exprimés en fonction des variables indépendantes a, (3 et si l'on remplace les différentielles d<x', dfi'
DES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES. 2l3
par leurs valeurs
da d3 ' dx dp '
l'identité (5) nous donnera les trois équations
dx' d$ dx' d$ djt! d$ dz dp' __ l^
~dz~ dx~ ~ °' dp" dp" "" °' dx" dp" + d!i dx "~ X'« '
La première ne peut avoir lieu que si l'une des variables a' ou [3' dépend de la seule variable a, et, en tenant compte de la seconde, on a les deux solutions
ou
Nous obtenons donc le théorème suivant : Lorsqu'on aura mis Vêlement linéaire sous la forme
ds* = X2 <ia rfp,
on ne pourra conserver cette forme de V élément linéaire que si Von substitue aux variables a, [3 les variables a', (3' déterminées par l'un ou Vautre des systèmes
Des coordonnées symétriques on passe immédiatement aux systèmes isothermes. Reprenons, en effel, la formule (4) et remplaçons a, [3 par les expressions suivantes :
i = «+ ïV, p = ?£ — îv;
elle donnera
(6) d*«=X»(rfK»-Hrfp«).
C'est la forme de l'élément linéaire qui caractérise les systèmes isothermes. En appliquant à ces systèmes les propositions déjà démontrées pour les coordonnées symétriques, on peut énoncer les théorèmes suivants :
i° Sur toute surface il existe une infinité de systèmes ortho-
gonaux et isothermes. On les obtient par Vintégration complète de V équation
ds* = o.
2° Lorsqu'on a obtenu un système isotherme («, v), on passe à tout autre système isotherme (V, v') par V emploi de l'un ou Vautre des systèmes de formules
\ u'-+ iv'= f(u^r-iv),
\ u'—iv'=fx{u^-iv)\
a' -+- iv' = f(u — iv),
( u — IV —Ji(ll -+- IV),
et, par conséquent, la connaissance d'un seul système orthogonal et isotherme tracé sur la surface entraine celle de tous les autres systèmes semblables tracés sur la même surface.
122. La théorie des coordonnées symétriques et des systèmes isothermes, qu'on peut faire remonter au premier Mémoire (1) de Gauss, publié en 1825, doit son origine à l'étude d'une belle question de Géométrie pratique, celle du tracé géographique d'une surface sur une autre, et plus particulièrement sur le plan. La théorie des Cartes géographiques avait été l'objet d'importants travaux de Lambert, d'Euler, de Lagrange. Comme il est impossible (n° 72) de représenter une portion de la sphère, ou de toute autre surface non développable, sur le plan, de manière à conserver les longueurs des arcs, on s'était surtout attaché aux modes de représentation qui conservent les angles, tels que la projection stéréographique, la projection de Mercator. Ces modes de représentation ont la propriété fondamentale d'établir la similitude des éléments infiniment petits qui se correspondent sur les deux surfaces. Si l'on considère, en effet, deux triangles correspondants infiniment petits, on pourra les assimiler à deux triangles rectilignes, et, comme ils seront équiangles, leurs côtés homologues
(!) Gauss, Allgemeine Auflosung der Aufgabe die Theile einer gegebenen Flàche auf einer andern gegebenen Flâche so abzubilden dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen àhnlich wird (Œuvi'es complètes, t. IV, p. i93).
seront proportionnels. Réciproquement, si deux surfaces se correspondent point par point, de telle manière que leurs éléments linéaires soient liés par la relation
ds2 = X2 ds'2,
et si l'on considère, sur l'une d'elles, une région assez petite pour que l'on puisse y faire abstraction de la variation de X, les lignes correspondantes tracées sur les deux surfaces seront dans un rapport constant; par conséquent, deux triangles correspondants infiniment petits seront semblables, et les angles se conserveront quand on passera d'une surface à l'autre.
On peut établir cette proposition d'une manière plus rigoureuse en cherchant l'angle de deux courbes tracées sur une surface quelconque. Supposons que l'on se déplace à partir d'un point de la surface dans deux directions différentes, et désignons par les caractéristiques d: o les différentielles relatives à ces deux déplacements. Soit
ds2 = E du2 -t- 2 F du dv ■+- G dv2
l'expression de l'élément linéaire. Les formules
dx =
dx du
du
dx dv
dv,
ox =
dx du
dx
dv
nous donneront
(9) dx ox -+- dy 8y -+- dz 8z = E du ou -+- F ( du Se -+- dp ou) -+- G dv 8e ;
et, par conséquent, l'angle V des deux directions sera déterminé par la formule
E du ôm -+- F (du oe -h dv ou) -h G dv Se
(lo) cosV =
/E chû- -+- Q.F du dv -+- G dv2 \/E ou'2 -+- 2 F ou 8e -+- G ov2
On voit qu'il dépend seulement des rapports de E, F, G et demeure le même quand l'élément linéaire tout entier est multiplié par une fonction quelconque de u et de v.
Comme l'élément linéaire du plan est réductible à la forme
ds2 = d*2 -+- d$2,
le problème du tracé géographique d'une sui-face quelconque sur le plan peut être formulé comme il suit :
Mettre Vêlement linéaire de la surface sous la forme d&= X» («*«*+ dp»),
c est-à-dire déterminer sur la surface un système orthogonal et isotherme.
Et il résulte des développements précédenis que, lorsqu'on connaîtra une solution de ce problème, on pourra obtenir toutes les autres sans aucune intégration.
Nous avons vu que, sur toute surface de révolution, les méridiens et les parallèles forment un système isotherme. On saura donc résoudre le problème pour toutes les surfaces de révolution.
Considérons, par exemple, la sphère pour laquelle on a
(il) as- = du- -+- sin2 u dv- = sin2 u — — 1- dv-
Posons
du u 7
— — = kx = losr tang — > v = ky.
sin» ° i
l'élément linéaire deviendra
(12) ds*-=- — — - {dx--{-dyï).
Si l'on fait correspondre au point (u, ,') de la sphère le point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont x, y, on obtiendra un mode de tracé dans lequel les méridiens faisant des angles égaux seront représentés par des droites parallèles équidistantes, et les parallèles par des droites perpendiculaires aux précédentes. C'est la projection de Mercator. Elle offre l'avantage, autrefois 1res apprécié pour les Cartes marines, de faire correspondre aux loxodromies (courbes qui coupent tous les méridiens sous un angle constant) des droites de la carte.
Si l'on pose
du do u
—. = — '-) v = a), p = a: tan g ->
smu p ' ° 2
l'élément linéaire deviendra
</y,= (p«+l»)'(rfpt+plrf&>,)-
En faisant correspondre an point (m, v) le point du plan dont les coordonnées polaires sont o et co, on aura un tracé géographique dans lequel, aux méridiens correspondront des droites concourantes, et aux parallèles les cercles concentriques dn plan coupant toutes ces droites à angle droit. C'est le tracé que l'on obtiendra en faisant la projection stéréographique de la sphère d'un point de vue placé au pôle.
123. Considérons maintenant une surface du second degré représentée par l'équation
, „ ce2 y- z%
abc
On peut la regarder comme une surface tétraédrale (n° 118) et prendre, pour les coordonnées x, y, z d'un quelconque de ses points, les expressions suivantes :
— Pi)
- pi )
Nous savons déjà que les courbes (p), (pt) forment un système conjugué. Ce système est aussi orthogonal, car les formules précédentes permettent de vérifier l'équation
dx dx dy dy dz dz dp dpi dp dPi dp dp!
Le système (p, p,), étant à la fois orthogonal et conjugué, est donc formé des lignes de courbure de la surface. Les formules (i4) nous permettent aussi de calculer l'élément linéaire, dont on obtient l'expression suivante :
P dp- Pi dp2
4 \(a — p)(b — p)(c — p) (a — pi)(6 — pi)(c — pi) Posons
--' - -.= da, J=7>d9l =
\/(a—p){b — p)(c — p) V(a — pi)(6 — pi)(c — pt)
2l8 LIVRE II. — CHAP. III.
la formule (i5) deviendra
(16) d»»=^=^(dot>-Hrfp«).
On a donc un système orthogonal et isotherme ; son emploi permettra de faire la carte de toute région tracée sur la surface du second degré (' ).
Il résulte du calcul précédent que les surfaces, du second degré sont divisibles en carrés infiniment petits par leurs lignes de courbure. Cette propriété appartient aussi, nous l'avons déjà vu, aux surfaces de révolution.
Remarquons encore une propriété essentielle de l'élément linéaire des surfaces du second degré. Dans la formule (16), p est une fonction de a et o, une fonction de [3. L'élément linéaire appartient donc au type suivant:
(17) rf** = t/(a)-F(P)](«fa*H-rfp«),
qui se présentera, sous sa forme la plus générale, dans la théorie des lignes géodésiques.
La théorie des surfaces homofocales du second degré conduit à un moyen, plus élégant que le précédent, d'effectuer le tracé géographique d'une surface du second degré.
Soit
l'équation d'un système de surfaces homofocales. Il passera trois surfaces du système par un point quelconque de l'espace; l'une sera un ellipsoïde, qui correspondra à une valeur p2 de À inférieure à c, l'autre un hvperboloïde à une nappe, correspondant à une valeur p, de X comprise entre b et c, et la troisième un hyperboloïde à deux nappes, qui correspondra à une valeur p de A comprise enlreaelb. Par conséquent, p, p,, p2 constituent un système de coordonnées curvilignes, les coordonnées elliptiques de Lamé, propre à définir tout point de l'espace. On sait que ce système est
(') On pourra lire, au sujet de ceUe représentation, le Mémoire de Jacobi, Ueber die Abbildung eines ungleichaxigen Ellipsoids auf einer Ebene, bei welcher die kleinsten Theile àhnlich bleiben (Journal de Crelle, t. LI-X, 1861, p. 74).
DES SYSTÈMES ORTHOGONAUX ET ISOTHERMES. 2ig
orthogonal; l'expression de l'élément linéaire de l'espace est la suivante :
(,8) ds-=-[ L dp>
ycpi) /(pi) J
où l'on a posé, pour abréger,
En y faisant p2 = o, on retrouverait la formule (i5).
Le plan z = o correspondrait à l'hypothèse po^ c.
D'après cela, considérons l'un quelconque des ellipsoïdes du système orthogonal et faisons correspondre à un point quelconque (p, p() de cet ellipsoïde le point du plan des xy qui a pour coordonnées elliptiques p', p\ les quantités définies par les deux équations suivantes :
'p' do' r? y/p — pido
r* do' /*!
Jb \/(a — p')(p'— b) Jb \/(a — p)(b — p)(c
/•p' foî = /"pl v/p.-p2^P
/(«- pi) (6 — pi) «/c v/(« — pi)(& — pi)(c — Pi)
11 résulte de la formule (18) que les éléments linéaires des deux surfaces sont proportionnels; ds, ds' désignant les arcs correspondants sur l'ellipsoïde et sur le plan, on aura
ds*1 p — p, ds'2 p' — p'j
La correspondance établie donne donc un nouveau tracé géographique de l'ellipsoïde sur le plan, tracé que l'on peut caractériser en remai^quant que, si l'ellipsoïde s'aplatit en demeurant constamment homofocal à lui-même, la région représentée vient, à la limite, se confondre avec la carte elle-même.
124. Revenons aux propriétés générales des systèmes isothermes. Si l'on connaît, sur une surface quelconque, un seul de ces systèmes, on pourra tracer sur cette surface, non seulement les autres systèmes isothermes, mais encore une infinité de systèmes
orthogonaux. En effet, la connaissance d'un seul système isotherme permet de faire la carte de la surface sur le plan avec conservation des angles et similitude des éléments infiniment petits. Par conséquent, à tout système orthogonal, tracé dans le plan, correspondra, sur la surface, un système orthogonal. Si, de plus, ce système est isotherme et divise le plan en carrés infiniment petits, cette propriété appartiendra au système correspondant de la surface, qui sera, par conséquent, isotherme. -
Il résulte de là que nous pouvons nous borner à étudier sur une surface plane les questions relatives à la substitution d'un système isotherme à un autre. Désignons par X, Y les coordonnées rectangulaires d'un point du plan et posons
L'élément linéaire du plan aura pour expression
(19) dS^—dZdZ\
et, si l'on désigne de même par z1 z' les variables complexes
z = a? ■+■ iy, z' = x — iy,
les formules qui permettent de passer au système isotherme le plus général seront
ou
si l'on veut que les nouvelles variables x,y soient réelles en même temps que les anciennes, il faudra évidemment que les fonctions y, fi soient, dans les deux cas, imaginaires conjuguées. Pour étudier géométriquement les formules précédentes, nous les considérerons comme définissant un mode de transformation qui fera correspondre à un point m(x,y) un autre point M(X, Y) du même plan.
Nous savons déjà que les deux modes de transformation définis parles formules (20) ou (21) conservent les angles et assurent la similitude des éléments infiniment petits correspondants. Mais il
y a ici une distinction essentielle à faire entre les deux systèmes de formules.
Supposons que le point m décrive une certaine courbe; soient ds la différentielle de l'arc de cette courbe et co l'angle de sa tangente avec l'axe des x. Les formules
dx = ds cosio, dy = ds sin u> nous donnent
(22) dz — ds eiu>, dz' = ds e~iM.
Désignons, de même, par dS et û les quantités analogues relatives à la courbe décrite par le point M (X, Y). On aura également
(23) dZ = dSe&, dZ'=zdSe-&.
Reportons-nous maintenant aux formules du premier système (20). Elles donnent
dZ=f(z)dz, dZ' = f\(z')dz';
d'où l'on déduit, en multipliant,
(24) dS^- = f(z)f'1(z')ds\ et, en divisant,
Donc, si l'on considère deux points correspondants m, M des deux figures, les tangentes en ces points à deux courbes correspondantes quelconques font entre elles un angle constant; par suite, à deux courbes de la première figure se croisant en m correspondront deux courbes de la seconde se croisant en M et y faisant un angle, non seulement égal à celui des deux premières courbes, mais ayant aussi le même sens de rotation. Si le point de la première figure décrit une petite courbe fermée autour du point m, le point correspondant de la seconde figure décrira aussi une courbe fermée autour de M, et, de plus, les deux courbes correspondantes seront parcourues dans le même sens.
Il n'en est plus de même si l'on emploie les formules (21); en effet, la transformation qu'elles définissent se ramène à celle qui correspond aux formules (20), précédée ou suivie d'une rotation
CIIAP. III.
de i8o° autour de l'axe des x\ par conséquent, dans cette seconde transformation, les sens de rotation de tous les angles et de tous les parcours seront changés.
Contentons-nous d'étudier les formules (20) et considérons seulement les systèmes isothermes réels, c'est-à-dire ceux pour lesquels les fonctions f, ft sont imaginaires conjuguées. Nous pourrons dire alors qu'à toute fonction de l'argument complexe z correspond un système isotherme, et nous aurons la proposition suivante, dont on fait un fréquent usage :
Les courbes planes qu'on obtient en égalant à des constantes la partie réelle et la partie imaginaire d'une fonction quelconque f(z) de la variable complexe z = x -i- y i forment un système orthogonal et isotherme. De plus, la formule
qui donne deux équations réelles, définit un mode de transformation avec conservation de la grandeur et du sens de rotation des angles.
Considérons, par exemple, la fonction
(26) A*) = Ki
Ce sont les formules de la transformation par rayons vecteurs réciproques où l'on aurait changé y en — y. Cette dernière transformation serait définie par la relation
qui se rattache aux formules (21) ; et elle appartient, par conséquent, comme l'indique le nom à' inversion sous lequel elle est souvent désignée, au groupe général des représentations conformes qui changent le sens de rotation des angles et des parcours.
La transformation définie par la formule
az -+- b
où a, 6, c, rf sont des constantes, se rapproche de l'inversion en ce qu'elle fait correspondre un cercle à un cercle; mais elle s'en distingue en ce qu'elle conserve les sens de rotation des angles et des parcours, c'est-à-dire assure la similitude directe des éléments infiniment petits. Cette transformation joue un rôle important dans les recherches relatives à la théorie moderne des fonctions. Pour la distinguer de l'inversion, nous lui donnerons le nom de transformation circulaire. Elle se ramène, d'ailleurs, à celle qui est définie par Ja formule (26), précédée et suivie d'une translation; elle peut aussi être remplacée par des inversions en nombre pair.
Le théorème général que nous avons énoncé peut prendre une forme nouvelle très importante. Supposons qu'on l'applique, non plus hf(z): mais à logf(z). La partie réelle de ce logarithme est le logarithme du module de f(z) et la partie imaginaire l'argument def(z). On obtient donc cette nouvelle proposition :
Etant donnée une fonction quelconque de la variable complexe z, les courbes d'égal module et d'égal argument de cette fonction forment un système orthogonal et isotherme.
12o. Les systèmes orthogonaux et isothermes définis par les deux théorèmes qui précèdent jouent en Physique mathématique un rôle très important. J'indiquerai les applications suivantes.
Soient, Aa et M deux points, qui correspondent aux valeurs «a et z de la variable complexe. On a
pA- désignant la longueur du segment A* M et 9a l'angle que fait ce segment avec l'axe des x. De même, pour un point Ba correspondant à la valeur bk de la variable complexe, on a
z—bk=p'ke^tt
o[. désignant la longueur de BaM et 9),. l'angle de ce rayon vecteur avec l'axe des x.
Si donc on considère la fonction
— ak
les courbes d'égal module auront pour équation
Plp2 • ■ • On
et les courbes d'égal argument
= const.
De là le théorème suivant, qu'il serait aisé de généraliser :
Si l'on considère deux groupes de n pôles A,, A2, ..., Art et B(, B2, ..., B„, les courbes lieux des points pour lesquels le produit, des distances aux premiers pôles A; est proportionnel au produit des distances aux n pôles B/ ont pour trajectoires orthogonales les courbes lieux des points d'où l'on voit les n segments A,B; sous des angles dont la somme est constante (' ).
Dans le cas où les deux groupes ne contiendront pas le même nombre de pôles, les théorèmes seront encore applicables, pourvu que l'on introduise, dans le groupe qui contient le moins de points, un pôle multiple situé à l'infini dans une direction déterminée, mais quelconque.
Par exemple, les cassiniennes, lieux des points tels que le produit de leurs distances à deux foyers fixes F, F' soit constant, admettent pour trajectoires orthogonales les courbes lieux des points M tels que la somme des angles formés par les rayons vecteurs MF, MF' avec l'axe des x soit constante. Ces dernières courbes sont des hyperboles équilatères passant par les foyers F, F'.
11 suffit, pour le démontrer, de considérer les courbes d'égal module et d'égal argument, relatives à la fonction
(') Les deux séries de courbes qui figurent dans ce théorème ont des propriétés qui les rapprochent du cercle. Voir à ce sujet l'Ouvrage de l'Auteur: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, p. 66 et suiv.
