Considérons maintenant l'intégrale
jbJ
où c désigne une constante réelle et positive, et cherchons le système orthogonal et isotherme formé par les courbes sur lesquelles la partie réelle ou la partie imaginaire de cette fonction demeure constante.
Posons
(27) z = ecos(a -+- $i), \/c- — z'2 = — c sin(a -+- |3 1);
l'intégrale aura pour valeur a+ flî et les deux familles du système isotherme seront définies par les équations
a = const.; [3 = eonst.
Soient F, F' les points du plan ayant pour affîxes c et — ç; M désignant le point dont l'affixe est z, on aura
(28) .'-c = FMe'S1^', z + c = F'Me'MF''',
et, par conséquent,
FM = r = mod(^ — c) = c mod [cos(a -+- (3 j) — i] = c[cos(3i — cosa], F' M = r'= mod (5 -+- c) = c mod [eos(a-+-f3t)-i-i] = c[cos(3z -4- cosa] ;
on déduit de ces équations
r -+- /•'= ic cos (3 i,
/•' — /• = 2C cosa.
On voit que les courbes de la famille ((3) sont des ellipses, admettant pour foyers F, F'; les courbes de la famille (a) sont les hyperboles homofocales.
D'autre part, si nous employons, avec Weierstrass, le symbole Si. pour indiquer la partie réelle d'une fonction, l'équation des ellipses sera évidemment
J s/ci—z± D. — I. i5
et leur équation différentielle
L'emploi des formules (22) et (28) nous permet de transformer cette équation et de lui donner la forme
.{ MF.T+MF'.r
fie I \ U>
w désignant l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x. On a donc
it MFa? + MF'j
ce qui donne la construction bien connue de la tangente à l'ellipse.
Nous terminerons ces applications, que l'on pourrait varier à l'infini, en prenant la fonction
dz
où c et k- désignent deux constantes réelles et positives.
Les courbes obtenues en égalant à une constante la partie réelle et la partie imaginaire de cette fonction formeront un système isotherme algébrique que l'on peut définir comme il suit.
Posons
v/c on aura
z = c sn-(a -h fii), z' = c sn2(a — (3z),
~ — c = — c cn2(a-t-St)i z' — c = — c en2 (a — &i), (29) { r
~|i=-pdn2(a + PO, ^'-^=-^dn2(a-^-)>
et; par conséquent, si l'on désigne par /', /', r" respectivement les distances du point (x,y) aux trois points en ligne droite
on aura
!/• = c sn(a -1- $i) sn(a — $i), r' = c cn(a-i- pj) cn(a — pi), ■ /•"= ±dn(a-{- p»)dn(<z— pi')-
Ecrivons les formules bien connues
cna?cn(a?-l-a)-+- dnasnxsn(^ + fl) = en a, ànx dnCr -+- a) -+- À"2 cnasna;sn(3, + a) = dna,
relatives à l'addition des fonctions elliptiques; si nous j substituons les valeurs suivantes de x et de x -f- a :
nous trouverons, en tenant compte des formules (3o), / r' -+- r dn(api') = c en (2 pi), | r"n- r- cn(2pt) = -p- da'(2pi).
Si l'on remplace ensuite x et a: + « dans les mêmes formules par les valeurs suivantes :
— a? = aH-pi, a? + a = a — [3 s,
elJes donneront les deux relations nouvelles
1 ?'' — rdn(2a) = c en (2a), i r — r cn(2a) = — an ( 2a).
Les équations (3i) et (32) définissent les deux familles isothermes.
Comme on devait s'y attendre, ces deux familles sont représentées par la même équation, mais avec des valeurs différentes de la constante arbitraire. Elles se composent d'ovales de Descartes avant pour foyers communs les trois points
La double équation obtenue pour chaque famille met en évi-
dence la belle propriété des ovales découverte par Chasles et donnée dans l' Aperçu historique, p. 35a.
L'équation différentielle commune aux deux familles d'ovales est évidemment
dz , dz'
j/*(*-c)(,-î) ^/z'iz--c)(z'-±)
Elle conduit à une construction géométrique nouvelle et très simple des tangentes aux deux ovales qui passent en un point M du plan. L'angle de l'une de ces tangentes avec l'axe focal sera la moitié de la somme des angles que font, avec cet axe, les trois rayons vecteurs menés du point M aux trois foyers. Cette somme n'étant définie qu'à un multiple près de tz, la construction donnera bien deux tangentes rectangulaires.
127. Une famille de courbes isothermes étant définie par une équation de la forme
le paramètre A de cette famille satisfait à l'équation aux dérivées partielles
et, réciproquement, toute fonction A vérifiant cette équation donne une famille isotherme. Cette remarque permet de traiter la question suivante :
Proposoni-nous de déterminer toutes les familles isothermes composées de cercles. L'équation d'un cercle écrite avec les variables z, z' a la forme
(34) zz' -h az -+- bz'-h c = o,
et l'on obtiendra la famille de cercles la plus générale en prenant pour et, b, c des fonctions arbitraires d'un paramètre A. Si l'on exige que cette famille soit isotherme, il faudra que la fonction À satisfasse à l'équation (33). On est ainsi conduit, par un calcul facile, à l'équation de condition
(35) (ab — c) (a" z -+- b" z' -\- c") — (ab1 '-+- ba' — c')(a'z -r b' z'-h c' ) = o,
où a', 6', c'; a", b", c" désignent les dérivées premières et secondes de a, b, c par rapport à A, et qui doit être une conséquence de l'équation (34 )• Comme l'équation (35) est du premier degré seulement par rapport à z et à s', elle doit être vérifiée identiquement et l'on a
a" b" c" ab'^-ba' — c'
a' b' c' ab — c
On déduit de là, en négligeant le dernier rapport et en intégrant,
a = le -+- /0, b = me -+- m0,
l, /0, m, m0 désignant des constantes. L'équation (34) prendra donc la forme
zz' -f- /0~ H- m0z' ^- c(lz -+- mz'-+- i) = o
et représentera nécessairement une famille de cercles passant par deux points, distincts ou confondus. Il est inutile maintenant de continuer les calculs et de déterminer l'expression de c en fonction deX; car on sait que toutes les familles de cercles passant par deux points distincts ou confondus peuvent se déduire par une inversion d'une famille de droites parallèles, ou de droites concourantes, ou de cercles concentriques, et sont, par conséquent, isothermes. De plus, leurs trajectoires orthogonales, qui sont des cercles, constituent également une famille isotherme, conjuguée de la première. Nous retrouverons cette dernière propriété comme cas particulier d'un théorème général relatif aux cercles géodésiques tracés sur une surface quelconque.
