CHAPITRE TY

On applique clans ce Chapitre les propriétés générales des systèmes isothermes à la résolution de différents problèmes relatifs aux Cartes géographiques et aux représentations conformes.

Représentations conformes d'une surface sur elle-même. — Recherche de toutes celles pour lesquelles un système isotherme donné de la surface correspond à un autre système également donné. — Représentations conformes qui conservent un système isotherme donné. — Application aux surfaces de révolution. — Transformation de Lambert qui fait correspondre les parallèles aux parallèles et les méridiens aux méridiens.

Emploi que Gauss a fait du même principe pour représenter d'une manière conforme l'ellipsoïde terrestre sur une sphère, le rapport de similitude demeurant le même en tous les points d'un parallèle. Si l'on voulait appliquer cette méthode à un pays tel que la France, le rapport de similitude ne varierait pas, dans toute l'étendue de la carte, de 400'000 de sa valeur.

128. Après avoir étudié l'es propriétés générales des systèmes orthogonaux et isothermes, nous allons montrer comment on peut faire usage de ces propriétés pour résoudre différents problèmes précis relatifs à la représentation conforme et à la théorie des Cartes géographiques.

Considérons d'abord une surface quelconque, dont l'élément linéaire est réductible à la forme

(i) e?s2 = X2 da. d$ ;

nous avons vu au n° 121 qu'on ne pourra conserver cette forme que si l'on substitue aux variables ol, ,3 les variables a', 37 déterminées par l'un ou l'autre des systèmes de formules

On peut évidemment envisager l'un ou l'autre de ces systèmes de

formules comme définissant une transformation de la surface en elle-même, transformation qui fait correspondre un point de la surface ayant pour coordonnées a', fi1 à un point de coordonnées a, (3. Cette transformation est conforme et il est aisé de voir quelle conserve aussi les systèmes isothermes. Car le système isotherme le plus général est défini par les équations telles que les suivantes :

\ /(>•) + ?(?) = ", //(«)- <p(P) = iV,

équations dont la forme se conserve évidemment lorsqu'on substitue aux variables a, fi. les nouvelles variables a\ fi'.

129. Au n° 124 nous avons commencé à étudier les transformations précédentes lorsqu'elles s'appliquent à une surface plane, et il est évident que l'on pourrait ramener à ce cas particulier l'étude du cas général, en supposant que la surface considérée a d'abord été représentée sur le plan. 11 y a cependant avantage, pour plus de netteté, à résoudre le problème suivant :

Etant données deux formes de Vêtement linéaire

(5) ds2 — n2(du2-\- dv2), ds\ = n\(du\-±- dv\),

se rapportant soit à la même surface, soit à deux surfaces différentes, existe-t-il une transformation conforme des deux éléments l'un dans l'autre qui fasse correspondre le système isotherme (w, v) au système isotherme (ut, p<)?

D'après ces conditions, il faut d'abord que l'on ait

(6) Ki = /(k), p1==<p(e) ou

(/) "i = /(f)5 Pi =?(«)■

Dans le premier cas, il faudra en outre que

n2 ii2

et, par suite, que /'(m), v'(v) se réduisent à des constantes, toutes

deux égales en valeur absolue. On aura donc nécessairement

(8) u, = /ui-+-A, vi = ±hv->r-k\

h, /.", k' désignant des constantes quelconques.

Pour obtenir ce qui se rapporte à l'hypothèse (7), il suffira de changer u en v dans les formules précédentes, ce qui donnera la solution nouvelle

(9) u\ = hv -+- /f, Vi = ± hu -+- k',

h, k, k' élant encore des constantes.

Quelque simples que soient les remarques précédentes, elles ont d'importantes applicalions.

130. Considérons, par exemple, une surface de révolution dont l'élément linéaire soit donné par la formule

(10) ds2 = f(u) [du--{- dv-].

La substitution définie par les formules

(il) Uy = CU -+■ h, Çl=CV,

où c et h désignent des constantes, en même temps qu'elle sera conforme, conservera à la fois les méridiens et les parallèles, en augmentant ou diminuant, dans une proportion toujours la même, l'angle de deux méridiens.

Cette transformation si simple est due à Lambert (' ). Gauss a fait usage du même principe pour représenter d'une manière conforme l'ellipsoïde terrestre sur la sphère, en donnant ainsi le moyen de supposer, dans tous les cas, la Terre sphérique (2).

Si l'on assimile la Terre à un ellipsoïde de révolution aplati, on aura l'équation du méridien sous la forme

(') Voir, par exemple, Beytràge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung durch J.-H. Lambert. Dritler Theil, 1772, p. io5 et suiv.

(2) Voir le Mémoire Untersuchungen iïber Gegenstànde der hohern Geodàsie Erste Abhandlung, clans le Tome IV des Œuvres de Gauss, p. 25g.

où /* désigne la distance à l'axe de révolution et ; la distance à l'équateur. Posons

<i3) = cote?,

ç> sera la colatitude; on aura

. , N a sine? a{\ — e2)cosa> (l4) r= ! -, z = f-

(1 — e2cos2ç>)2 (1 — e2cos2co)2

L'élément linéaire de la surface s'obtiendra sans difficulté et sera donné par l'équation

, „ #2(i — e2 )2 . „ a- sin2œ 7 „

(id) ds- = : — do--] '—— dv-,

(1 — e2.cos2ç3)j ' 1 — <?2cos2cp

où v désigne la longitude du lieu.

Si l'on veut mettre en évidence les variables isothermes, il faudra introduire la fonction u telle que l'on ait

1 a\ j (1 — e*)do

(16) du —

sin cp(i — e2 cos2cp) ce qui donne par l'intégration

. , o e . 1 -t- e coso

(17) u = I02; tano- j- h — loff -■

w D ° 1 2 & 1 — <?cosç>

Cette expression elle-même peut se développer en une série

(18) u = log tane— +e2coson cos3o -1 cos5ïïH cos7o +. . . ,

qui est très convergente dans le cas de la Terre, puisque e2 est alors

égal a — — environ.

En introduisant la différentielle du, on donne à l'élément linéaire de l'ellipsoïde la forme

f , / -, a2 sin2o . , „ , „

(19) ds2= ! — (du*-h de*).

1 — e'1 cos2cp

Dans le cas où l'ellipsoïde se réduit à une sphère de rayon R, il faut faire a = R, e = o,

/ -, ? do\ T (pi

(20) dui = —r-1 — > î<i = Loff tang — ,

sincD] 00 2

et la formule précédente devient

(21) ds- = R- &in*<oi (du\ -+- dv\).

131. Cela posé, pour obtenir une représentation conforme de l'ellipsoïde sur la sphère, on peut toujours poser, conformément à la méthode de Lambert,

(22) (-*! = ar, «1 = a«-+-P,

a et 3 étant deux constantes. Le rapport de similitude de la sphère à l'ellipsoïde sera donné par la formule

/ON. R« Sm?l / 5 S"

( 23 ) m = : — — 1/ 1 — e- cos-cp.

a sino '

Remplaçons, dans la seconde formule (22), u{ et u par leurs expressions en fonction deçi etdecp, et au lieu de fi écrivons log k. Nous aurons