CD
(24) tang — = A- tang
ce / 1 -+- e cos'
2 \ 1 — e cos<
La première formule (22) et les deux suivantes (23), (24) définissent complètement la représentation conforme. Pour déterminer les constantes a, k et R, Gauss procède comme il suit.
En faisant usage de la relation
cfoj a(i — e2) d'i>
sin cpt sin cp ( 1 — e'2cos2cp)
qui résulte de la différentiation de la seconde formule (22), on
trouve
d\os;m coso
-! = COtCPi : — ■ — j
acpi .' a sin cpt
d^\ogm 1 cosœcoscpi si n2 cp (1 — e2cos2cp)
«?cp| si n2 cpx asin2cp1 a'2(i — e2)sin2o1
Gauss exprime que, sur un parallèle déterminé
?i = «0, on a à la J ois
, r. dm d2??i
dfi dv\
Si l'on désigne par cp0 ]a valeur de es qui correspond à la valeur u0 de u. cela donne les équations
COSCpo = * COS Un,
a2([ — e2) sin2 u0 = sin2cp0(i — e2 cos2cp0),
d'où l'on déduit, en tenant compte de la formule (a3) et de la première condition (20), les valeurs suivantes :
/ ^ » e2sin4cp0 1 D «v 1 — e2
(20) a- = 1 -! — 5 cos u0 = - coscp0, K =
1 — e.-> a 1 — e~ cos^cp
fo
D'après l'expression de R, on verra facilement que la sphère sur laquelle on représente l'ellipsoïde a son rayon égal à la moyenne géométrique des rayons de courbure de V ellipsoïde en tous les points du parallèle de colatitude o0. Cette sphère avait été introduite, bien avant Gauss, par Prony; mais Gauss est le premier qui ait rattaché sa considération à un raisonnementprécis.
132. Pour mettre en évidence les grands avantages de la représentation de Gauss, appliquons-la à un exemple.
Si l'on calcule la dérivée troisième de log/w, on trouve, pour u = w0,
dz\ogm 4 e2 cos «o s'n2tfo
( i — e-) sin i/c
Le premier terme du développement de logm, suivant les puissances de u — u0, sera donc
2e2 cos u0 sin2cp0 , 3 (1 — e2) sinz<0
ce qui donnera
. , . 2e- cos«o sin2co0 ,
3 (1 — e-) sin u0
les termes négligés contenant les puissances supérieures de u — u0. Faisons, par exemple,
a>o= 45", on aura
a2 ne différera de i que d'environ- Pour calculer le terme du
1 boo
troisième ordre dans l'expression de m, on pourra supposer u0= ca0,
ce qui donne à peu près
ni'2 = i H — ( u — Un )3.
Dans un pays comme la France, qui s'écarte de 6° au plus du
parallèle de 45°, u — u0 atteindra au plus — , c'est-à-dire — • Le
1 l 3o io
rapport de similitude ne différera de i que de quantités qui
n'atteindront pas- On voit entre quelles limites étroites
variera ce rapport. Pratiquement, l'emploi de la sphère de Gauss et de Prony permet de regarder la Terre comme sphérique.
133. On peut employer les mêmes méthodes pour résoudre un problème que Lagrange a étudié de la manière la plus détaillée dans ses Mémoires, publiés en 1779 (f), sur la construction des Cartes géographiques. Considérant la Terre comme une sphère ou un sphéroïde de révolution, Lagrange se propose de rechercher tous les Iracés géographiques dans lesquels les méridiens et les parallèles sont représentés par des arcs de cercle. Comme, sur toute surface de révolution les méridiens et les parallèles forment deux familles isothermes conjuguées, les courbes correspondantes du plan devront, elles aussi, former deux familles isothermes conjuguées. Or nous avons vu: i° que, dans le plan, une famille de cercles ne peut être isotherme sans que la famille isotherme conjuguée ne soit aussi composée de cercles; iï° que tout système isotherme composé de cercles dérive par une inversion plane soit du système (A) formé par les courbes coordonnées d'un système de coordonnées rectilignes rectangulaires, soit du système (B) formé d'une manière analogue avec les coordonnées polaires.
Ainsi, si l'une des deux familles de méridiens et deparallèles de la surface est représentée par des cercles, il en sera nécessairement de même de l'autre famille.
On obtient toutes les solutions du problème de Lagrange en
(') Lagrange, Œuvres complètes, t. IV, p. 637.
faisant correspondre les méridiens et les parallèles, soit aux droites du système (A), soit aux courbes coordonnées du système (B), puis en soumettant les systèmes (A) ou (B) ci une inversion plane quelconque.
Soit
(29) ds~ = n'2(du- -+- dv2)
l'élément linéaire du sphéroïde, les lignes de paramètre u étant les parallèles de la surface. Quand il s'agira d'uue sphère, on aura
(00) M=ji^ = logtang-.
G étant la colatitude, et v sera la longitude.
Si l'on remarque maintenant que, pour le système (A), l'élément linéaire du plan est donné par la formule
ds2 = d.jc- -+- dy2,
on voit que les représentations conformes par lesquelles on passe des méridiens et des parallèles au système (A) sont données par les formules
u = h ce -+- k, v = ± h y ■+- k' ou
qui, par l'emploi d'homothéties, de translations et de symétries élémentaires, se ramènent toutes au type
Il suffit de se reporter à la formule (3o) pour reconnaître qu'on a ainsi la projection de Mercator.
Ainsi, une première solution est donnée par la projection de Mercator, ou par cette projection suivie d'une inversion plane.
134. Supposons maintenant que les méridiens et les parallèles correspondent au système (B) pour lequel l'élément linéaire du plan est donné par la formule
ds2 = dp2-{- p2dia2
qu'on peut écrire, en introduisant les variables isothermes ds-= p2[(<f/p)2-f- du>2].
Par suite, les représentations conformes par lesquelles on passe des méridiens et des parallèles au système (B) sont données par l'un des deux systèmes de formules
( 3 1) u = h Log p 4- k , v = ± /i to -+- k'
( 3a ) u = htà -+- k, v = ± h Log p -+- k'.
La grange rejette la deuxième solution qui donnerait, en effet, des résultats compliqués. Dans le cas de la sphère, par exemple, on aurait
tan g - = e/u,)+/'', v = ± h Logp -+- k\
v et - — 6 étant la longitude et la latitude. 2 °
C'est donc à la solution définie par les formules (3i) que nous nous arrêterons.
On lui donnera la forme
Logp = c(u — u0),
Par un choix convenable des axes, on pourra supprimer le double signe et réduire ces formules aux suivantes :
(34) p = kecu, u) = cv
que nous emploierons désormais.
Si l'on fait c=± i, on retrouve, dans le cas de la sphère tout au moins, une transformation connue depuis Hipparque, la projection stéréographique de la sphère de rayon k. On a alors, en effet, en prenant par exemple c= i,
p = a.- tans; -> (x> = c.
Dans le cas général où c prend une valeur quelconque, la trans-
REPRÉSENTATION CONFORME DES SURFACES. 23g
formation résulte de la composition des deux suivantes :
(35) u'= cv -+- Logk, v' = cv
et
La première est une transformation de Lambert appliquée à la surface elle-même. La seconde estime projection stéréographique.
On peut encore remarquer que la transformation résulte de la composition des deux suivantes :
(37) p' = <?", id'= v
et
(38) p = kp'c, w = cw'.
La première est une projection stéréographique; la seconde est une transformation de Lambert appliquée aux coordonnées polaires du plan considéré comme une surface de révolution.
13o. Au reste, en appliquant le théorème donné au n° 125, on peut obtenir très simplement les formules qui définissent directement le tracé géographique fournissant la solution du problème de La°ran°'e.
Il résulte en effet de ce théorème que, si l'on choisit convenablement les axes, le système isotherme le plus général qui soit formé de cercles est composé des deux familles pour lesquelles respectivement le module et l'argument de la fonction
demeurent constants. Si A et A' désignent les points pour lesquels laffrxe est égal à -f- a et à — a, l'une des familles, celle qui correspondra aux méridiens de la surface, sera formée des cercles qui passent par A et A'; l'autre famille le sera des cercles lieux des points pour lesquels le rapport des distances aux points A, A' est constant. Les variables isothermes relatives à ce système sont définies, par exemple, par l'équation
(3g) =— eu+lv.
24o LIVRE H. — CHAP. IV.
Leur signification géométrique est très simple. Si ;•, r' désignent les distances du point M d'affixe z aux deux points A, A', si co, lu' désignent les angles que font respectivement les segments AM, A'M avec A' A, c'est-à-dire avec l'axe des x, on a
a = re'w,
a =r el<» ,
lui d(
Ainsi, u est le logarithme du rapport des dislances A'M, AM, v est le supplément de l'angle sous lequel on voit de M le segment AA', cet angle étant défini avec précision, en grandeur et en signe, par les formules précédentes.
Les expressions des coordonnées x et y du point M en fonction de u et de v se déduisent très simplement de la formule (3g). On a
gU-t-il/ J
d'où, en séparant les parties réeiles des parties imaginaires,
. . eu — e~u na sin v
Gela posé, si m,, V\ désignent les variables isothermes du point de la surface qui est représenté en M, il suffira, pour établir la correspondance cherchée, de prendre
