CHAPITRE II

SUR L INTEGRATION DU SYSTEME LINEAIRE QUI SE PRÉSENTE DANS LA THÉORIE PRÉCÉDENTE.

Il s'agit du système qui détermine le mouvement quand on se donne les rotations p, g, r en fonction du temps. — Ce système est le type, ou la forme réduite, d'une classe importante de systèmes linéaires qui admettent une intégrale quadratique à coefficients constants ou variables. — On voit immédiatement, presque sans calcul, qu'on peut l'intégrer complètement, si l'on en connaît deux solutions particulières. Mais, d'après un résultat plus caché, il suffira d'en connaître une solution particulière pour en achever l'intégration complète à l'aide d'une seule quadrature. Pour établir ce résultat, on reprend l'intégrale a-+ £2+ Y2 = const. et l'on examine successivement le cas où la constante du second membre n'est pas nulle, et celui où elle est nulle.

Dans le premier cas, l'intégration du système linéaire se ramène à celle d'une seule équation de Riccati. — Propriétés générales de l'équation de Riccati. Forme de l'intégrale par rapport à la constante. Le rapport anharmonique de quatre solutions est constant. Cas où l'on connaît une, deux ou trois solutions particulières. Réduction à un système linéaire homogène à deux inconnues.

Application de ces propriétés générales à l'équation de Riccati qui se. présente dans le problème actuel. La connaissance d'un seul système de cosinus vérifiant les trois équations fondamentales permet d'achever le problème par une seule quadrature portant sur une fonction réelle. — Rappel de la méthode par laquelle Euler avait établi ce résultat.

On arrive maintenant à l'étude des solutions du système fondamental pour lesquelles la somme a--t-P2+y2 est nulle. On ramène leur détermination à celle d'un système linéaire à deux inconnues, un de ceux qu'on peut rattacher à l'équation de Riccati considérée plus haut. Son intégration complète permettra d'obtenir sans quadrature celle du système linéaire à trois inconnues. Si l'on en connaît une solution particulière, on en obtiendra une autre sans intégration, ce qui fournira l'intégrale générale, lorsque p, g, r seront fonctions réelles de t; dans le cas contraire, il faudra une quadrature pour déduire l'intégrale générale de la solution particulière.

13. Il nous reste à étudier d'une manière détaillée l'intégration du système

/ dl a

28 LIVRE I. — CIIAP. II.

auquel satisfont les trois groupes de cosinus. Nous avons déjà signalé une propriété fondamentale de ce système. Il admet l'intégrale quadratique

(2) a2-f- j32-4-Y2= const.,

et l'existence de cette intégrale entraîne comme corollaires une série de propositions qui facilitent, dans plusieurs cas, l'intégration du svstème.

Avant de commencer l'étude des équations (1), je vais montrer d'abord que tout système linéaire de la forme

i ^ =Aa -+-B3 +Gy, \ dt '

où A, B, C, A', . . . sont des fonctions de t, peut être ramené à la forme (1) toutes les fois qu'il admet une intégrale du second degré connue

(4) <p(a,jî,Y) = const.,

où o désigne une fonction homogène du second degré, à coefficients constants ou variables.

En effet, une substitution linéaire homogène quelconque ne change évidemment pas la forme des équations (3) et, à l'aide d'une telle substi tution, on peut évidemment ramener l'équation (4 ) à la forme

(5) a2+ [B2-f- y2= const.,

en laissant de côté les cas exceptionnels, qu'on traitera aisément, où la fonction o serait un carré, ou une somme de carrés.

Si l'on exprime que le premier membre de l'équation (5) est une intégrale du système (3), on obtient les conditions

qui permettent de ramener ce système (3) à la forme (1).

Ainsi, le système (1) nous apparaît comme le type, ou la forme

sur l'intégration du système linéaire. 29

réduite, d'une classe entière de systèmes présentant la propriété, qu'on rencontre fréquemment clans les applications, d'admettre une intégrale connue du second degré. Ce caractère particulier des équations que nous allons étudier méritait d'être approfondi et suffirait à justifier l'étendue des développements qui vont suivre (1).

14. Je vais montrer d'abord que, toutes les fois que l'on connaîtra une solution particulière du système (1) (a0, (30, y0), on pourra joindre l'intégrale du premier degré

aa0 -h (3[3o -+- TTo = const.

à l'intégrale déjà donnée du second degré.

Cette proposition a déjà été indiquée au n" 2. La démonstration suivante en fera connaître la véritable origine.

Si l'on a une solution quelconque (a, [3, y) du système (1), on pourra en déduire, d'après les propriétés de tout système linéaire, une solution plus générale

a-f-ka0, (3-t-Â-fio, Y-+-*Yo>

A- désignant une constante quelconque. On devra donc avoir, pour toutes les valeurs de k,

(ï + h0)î + (P + A"p3), + (T + A-y0)2= const.

Le coefficient de k2 et le terme indépendant de k dans le premier membre étant constants, il faudra qu'il en soit de même du coefficient de k

aa0+ PP0+YY0,

comme on voulait le démontrer.

Il résulte évidemment de là que, si l'on connaissait seulement deux solutions particulières du système (1) (a0, P05 Yo) et (a, , (3n v,), on pourrait obtenir immédiatement la solution générale, qui serait définie par les équations

const.,

YYo

const.,

PPl

YYi

const.

(') On peut caractériser aussi le système étudié en disant qu'il est identique à son système adjoint. Voir pour la définition du système adjoint deux Notes de l'Auteur insérées en 1880 aux Comptes rendus, t. 90, pp. 024 et 5g6.

3o LIVRE I. — CHAP. II.

Ces équations peuvent être résolues et donnent pour a, [3, y des valeurs de la forme

( a = c0ao+«i«i-4- c2((Vfi— P1Y0),

(6) | P = c0po-+- CiP'i+-c,(Yoai — *oYi)i

( Y = coYo+ ciYi + c2(aoPi— Po«i),

où c0, c(, Co désignent les trois constantes arbitraires. Mais on peut obtenir une proposition plus complète et montrer que, si l'on connaît un seul système de solutions du système (i), une seule quadrature suffira à nous donner son intégrale générale.

15. Pour établir ce résultat essentiel, nous reprendrons l'intégrale générale

a2-+- P2 + y2 = const.,

et nous examinerons successivement le cas où la constante du second membre n'est pas nulle, et celui où elle est égale à zéro.

Dans le premier cas, on pourra toujours, en divisant a, (3, y par une constante convenable, supposer qu'on a

(7) <*»-+- p»-KT»=i.

Remarquons même que, dans le problème particulier que nous avons à traiter, a, (3, y étant trois cosinus directeurs, doivent nécessairement vérifier cette relation.

Il est naturel de profiter de la relalion (7) pour exprimer a, (3, y en fonction de deux variables indépendantes et de chercher les équations différentielles auxquelles devront satisfaire ces deux variables. Voici comment nous allons procéder :

Si l'on regarde a, (3, y comme les coordonnées rectangulaires d'un point de l'espace, l'équation (7) représentera une sphère de rayon 1 ayant pour centre l'origine des coordonnées. Considérons cette sphère comme une surface réglée admettant un double système, de génératrices imaginaires et prenons pour variables deux quantités demeurant constantes respectivement sur les génératrices de chaque système. Pour cela nous poserons

sur l'intégration du système linéaire. 3l

ce qui donnera

'■' i — xv n . i -!- xy x -\- y

Remarquons que, d'après les formules (8), x et y seront imaginaires quand a, fi, y seront réels, et en outre l'imaginaire conjuguée de x

sera

Si nous substituons les valeurs ainsi obtenues de a, (3, y dans les équations différentielles, ces équations se réduiront à deux, comme il fallait s'j attendre, et après quelques calculs faciles, on obtiendra le système

. dt i %

Oo)

dy q — ip . q -\-ip

-f- = 1 i- — iry -t- ^ ÎL

dt 2 J i J

d'où il suit : i° que x et y se déterminent séparément; 2° que ces deux inconnues sont des solutions différentes de la même équation

, . «for q — ip . q -+- ip

(il) -r- = - -— ir<s-\-± <r .

dt i i

L'intégration de notre système se trouve donc ramenée à celle de cette seule équation. Deux solutions particulières distinctes de l'équation donneront, par l'emploi des formules (9), des valeurs réelles ou imaginaires de a, ,3, y liées par la relation (7) et vérifiant le système (1).

16. L'équation en <r appartient au groupe des équations de la

forme

da 7

(12) — = a + 2oa + cff2,

où «, b, c désignent des fonctions quelconques de t', je leur ai donné le nom de Riccati, parce qu'elles comprennent comme cas particulier l'équation

(i3) -j- = a^-^bt»1,

qui seule a été l'objet des recherches du géomètre italien. Nous allons rappeler rapidement leurs principales propriétés.

D'abord, elles ne changent pas de forme, lorsqu'on effectue suroune substitution linéaire, c'est-à-dire quand on substitue à <7 la variable X définie par l'équation

. Mt + N

M, N, M', N' étant des fonctions quelconques de t.

D'après cela, soient o-0, <rl5 <y.2 trois solutions particulières de l'équation, et considérons le rapport anharmonique

)v satisfera, d'après ce que nous venons de dire, à une équation de la forme (12), et cette équation devra admettre les trois solutions

particulières

Donc elle se réduira à la forme

et par conséquent \ devra être constant.

Ainsi, le rapport anharmonique de quatre solutions quelconques de V équation différentielle est constant.

Cette propriété est d'ailleurs caractéristique. Car soient crn, <r,, <r2 trois solutions particulières de l'équation. Si elle jouit de la propriété précédente, sa solution générale devra vérifier la condition

(i4) ^^i:^ZL^ = c,

C désignant une constante. En l'éliminant par différentiation, on retrouve précisément une équation différentielle de la forme considérée.

Si l'on résout l'équation (i4) Par rapport à <7, on a, pour l'intégrale générale, une expression de la forme

. RG -4- S

PC + Q ' où P, Q, R, S sont des fonctions de la variable indépendante; et

SUR l/ INTÉGRATION DU SYSTÈME LINÉAIRE. 33

réciproquement, si l'intégrale générale se présente sons cette forme, on peut dire que le rapport anliarmonique de quatre solutions particulières quelconques est constant et égal à celui des valeurs correspondantes de C. Ainsi, c'est encore une propriété caractéristique de notre équation que son intégrale générale peut être mise sous la forme (i 5) par rapport à la constante arbitraire C.

17. Les applications particulières de cette propriété essentielle sont les suivantes :

i° Si l'on connaît trois solutions particulières distinctes cr0, cr,, tr2 de l'équation (12), son intégrale générale sera donnée sans quadrature par la formule (i4)-

20 Si l'on connaît deux solutions particulières cr0, cr,, on prendra comme inconnue auxiliaire

cr — <7[

A devra satisfaire à une équation de Riccati privée des termes a et c, c'est-à-dire intégrable immédiatement. On a, en effet,

d<j din cfa d<Ji d logX ~di dt ~di dt

dt ' cr — ay cr — ai

1 d'y din dii i .

ou, en remplaçant -j-> —7-, —r- par leurs valeurs,

d logjA

— c(a0 — cr,).

dt

On aura donc (16)

Jel°'

-Gi)dt

1 s'obtiendra par une seule quadrature.

3° Enfin, si l'on connaît une seule solution particulière cr0, on posera

L'équation en A devant admettre la solution À = co sera une équa- D. — 1. 3

lioti de Riccati privée du terme en À2. Et, en effet, on trouve

Ci-,) — = — C — i{ r7„+ b)\.

(il

c'est-à-dire une équation linéaire <|in s'intégrera à I aide de deux quadratures.

18. L'équation de Riccati possède donc une des propriétés fondamentales des équations linéaires; en ce sens que la connaissance de chaque solution particulière permet de faire un pas vers la solution générale. Et, en effet, il est aisé de ramener son intégration à celle d'une équation linéaire du second ordre. Voici le procédé qui nous paraît le plus élégant pour effectuer celte réduction :

Posons

l'équation deviendra

du. cbi

( iq ) v — ; a —r- = Ciy'2 -+-2 0 uv — C/-.

JJ dt ' dt

Cette unique relation peut être évidemment remplacée par les deux suivantes :

dlx , ,,., ,,

, dt /l

{ dy

où h désigne une fonction arbitraire de t. Or, l'élimination de u. ou de v conduit évidemment à une équation linéaire du second ordre pour la variable conservée.

Si l'on prend par exemple h = 0, on aura

i dv et v satisfera à l'équation

<i2v / . c'\dv

sur l'intégration du système linéaire. 35

Si v, et Vo désignent deux solutions particulières de cette équation, on aura

i v'.-f- Cv',

Cv,

C désignant la constante arbitraire.

Les propriétés des systèmes linéaires nous indiquent, d'ailleurs, une autre valeur qu'il pourra être avantageux de choisir pour h.

Si u.0, v0; uh v, désignent deux systèmes de solutions des équations (20), on a

di

[J-l Vl

Si donc on prend A = o. on aura l'avantage d'obtenir immédiatement la relation