ie = o

et le premier membre de l'équation (i) deviendra égal au double de la distance du point à ce plan.

Supposons maintenant que Ton considère, en même temps que

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 267

la sphère représentée par l'équation (i), une autre sphère (S') représentée par l'équation semblable

Soient p' le rayon et x0, r'0, zr0 les coordonnées du centre de cette seconde sphère. Les formules (2) nous donnent la relation

(6) (*o--<)2+(ro-yo)2+(*o-*'o)2— p2-p'2

(0 -t- le) (&'-+- ie') et, par suite, l'équation

(7) ax'+ PP'-+- YY'-+- 88' -H ee' = o

exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les deux sphères se coupent à angle droit. Cette condition subsiste quand Tune ou l'autre des sphères se réduit à un plan; sa forme nous permettra de donner une théorie très simple du système de cinq sphères deux à deux orthogonales.

loi. Considérons, en effet, cinq sphères (S(), (S2), •-., (S5), de rayons Rt, . . ., R5, et écrivons leurs équations sous la forme

\ 2aA^-f-2p/tJK-H2Y/c-S-+-0>fc 5 'r-lSk ■ R =0

Nous aurons d'abord, par hypothèse,

(9) **+P*+Y*+8*-|-e*=i> et de plus, les sphères étant orthogonales,

Ces deux groupes de formules rattachent la théorie du système des sphères à celle d'une substitution linéaire orthogonale à cinq variables. Toute substitution de ce genre fournira un groupe de cinq sphères orthogonales et vice versa.

On sait que les relations (9) et (10) entraînent comme conséquence les suivantes :

(11) af-f-a2-+-...-ha! = i,

(12) ai Pi -H. • .-f-a5[i5= o,

et toutes celles que Ton obtiendrait en remplaçant, d'une manière quelconque, a et (3 par a, [3, y, o, s.

On déduit de cette remarque une première propriété, fondamentale dans la théorie qui nous occupe. Désignons par S# la puissance d'un point quelconque par rapport à la sphère (S#); le

premier membre de l'équation (8) sera ^ • Si l'on élève cette

équation au carré et si l'on ajoute toutes les équations ainsi obtenues, on trouvera, en appliquant les formules (i i) et (12),

Ainsi, il existe, entre les puissances d'un point quelconque par rapport aux cinq sphères, la relation homogène

<■»> Zfë)" —

Nous rappelons que, si l'une des sphères (S#) se réduit à un plan

(P/c), — doit être remplacé par 2P*, 1\ désignant la distance,

affectée de signe, du point (x, y, z) à ce plan.

Si l'on multiplie, de même, le premier membre de l'équation (8) par 0/r+ iek-i on trouve, en ajoutant les équations ainsi obtenues,

ou encore

(.4) 2tî —

en remarquant que, d'après la formule (4), on a

152. Nous pouvons maintenant définir le système de coordonnées que nous nous proposons d'étudier. Nous appellerons coordonnées pentasphériques d'un point les cinq quantités Xu

LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES. 269

,1 « S/, proportionnelles a -j^- et nous poserons

Comme nous n'emploierons que des équations homogènes, le facteur A n'aura aucune influence sur les résultats. On trouvera d'ailleurs, en vertu de la formule (i3),

Ainsi, nos cinq coordonnées seront toujours, comme il fallait s'j attendre, liées par une relation homogène. 11 est aisé de montrer qu'il n'y a pas entre elles d'autre relation et que cinq quantités satisfaisant à l'équation (i5) déterminent un point et un seul.

Remarquons, en effet, que les équations (i3) et(i4) contiennent toutes les relations possibles entre les quantités S# ; car, pour déterminer un point, trois de ces quantités peuvent être choisies arbitrairement. D'ailleurs, si l'on substitue dans ces relations l'expression de S# en Xk-, la première se réduit à l'équation (i6), qui est vérifiée par hypothèse, la seconde devient

et fait connaître le facteur de proportionnalité A.

Au reste, on peut obtenir les expressions de x, y1 z en fonction des variables Xk', il suffît de résoudre le système

( 1 8 ) iakX -+- 'i $;cy + 2 ya z

+ 8* R + ,e* —R = Ri = T'

où l'on donne à k les valeurs 1,2, ..., 5. En ajoutant ces équations après les avoir multipliées soit par a#, soit par j3#, yA, 8^, s*, on trouve

2>. X = 2, ak^k, ^ (-C2 + JK2 -I- -S2 — R2) = R 2, ô/t -r/f,

(19) / ■i.\y=yS$kXk, l(j:î + 73+;!+RJ)=-(R2£i"ri-

Les deux dernières équalions feront connaître, par soustraction, le facteur ). sous la forme

( 20 ) 2 X R = — 2 ( ô/, + i i/, ) Xk,

qui est équivalente à l'équation (17); les autres donneront x, y, z et même x- -+- y2 + ;2 (' )•

En même temps qu'un point M, dont les coordonnées x,y, z et Xk sont liées par les formules (18), considérons un autre point M' dont nous désignerons les coordonnées par les mêmes lettres accentuées x\ y' 1 z' et x'k. On trouvera sans difficulté

(21) MM'" = (x — x'?->r(y— yy-\-(z — z f

ÙX'

Zi \\k Zd \\k

Telle est la formule qui donne la distance de deux points. Si l'on tient compte des relations identiques entre les coordonnées, on peut lui donner la forme

(M) ïvnvT2= 2(**-^)2

"V — V — Zd n Zd \\k

(') Si l'on voulait se livrer à une étude plus détaillée, il faudrait signaler un cas d'exception. La formule (i3) montre que les cinq rayons satisfont à la relation

si Ton cherche le point pour lequel on a

on trouvera qu'il est indéterminé et n'est assujetti qu'à une condition, celle d'être dans le plan de l'infini.

D'autre part, un point du cercle de l'infini a une infinité de coordonnées qui sont déterminées par la formule

où h est quelconque et où les xk satisfont, en même temps qu'à l'équation (16), à la relalion

Zl r,

LK- COOHDOXXÉES PENTASPHEBIQUES 2JI

Lorsque les deux points sont infiniment voisins, on obtient l'expression suivante de l'élément linéaire :

Il est inutile d'insister sur l'analogie que présentent ces deux formules les qui se rapportent a la Géométrie «le Descartes.

153- Proposons -nous maintenant d'établir les relations d'orthoilité dans le système 'les coordonnée- a?/.

Quand les coordonnées sont fonctions de deux variables s, c,. les courbes : p seront perpendiculaires si le coefficient de dpdol est nul dans l'élément linéaire, c'est-à-dire, d'après la formule 23 . dans la somme

Cette condition se traduit par la relation

cr/ o.r

toute semblable a celle que l'on obtient avec les coordonnées cartésiennes.

Ltant données maintenant deux surfaces par les équations homogènes

cherchons la condition pour qu'elles se coupent à angle droit. Nous remarquerons d'abord les relations suivantes, qu'il est aisé

de vérifier, entre Jes puissances d'un point par rapport aux cinq sphères orthogonales :

D'après cela, remplaçons, dans les équations homogènes des deux surfaces, les .27 par les quantités proportionnelles -^ et posons.

a-2 LIVRE II. — CHAP. VI.

pour abréger,

do à<b do dis do à<\>

1 ' ôx àx Oy dy dz Oz

On aura évidemment

c'est-à-dire, en tenant compte des formules (a5),

Puisque les fonctions sont homogènes, on a

7 S/, -^f- = mcp = o. 7 S/, — j- = n<b = o,

— dS/t Y ^J dis*

et la condition d'orthogonalité prend la forme ou, en introduisant les quantités Xi,

do d^

dxi; dx/t-

Plus généralement, le cosinus de l'angle V, sous lequel deux surfaces se coupent et qui est donné par la formule

cosv =

vA<p, r?)(^ '\f)

aura pour expression

^ do à<i> m*** àxk dxk

(27) cosV:

154. Avant de continuer l'étude des coordonnées %i: nous indiquerons leur rôle dans la théorie des lignes de courbure.

Considérons une surface quelconque et supposons que les coordonnées X[ d'un point quelconque de cette surface soient

LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES. 278

exprimées en fonction de deux variables indépendantes a, [3. Formons l'équation linéaire

(28) A— p + B— — +C-^ H-D— -HE-, -t-F6 =0,

00L2 .à'jLop dp2 da dp

à laquelle satisfont les cinq coordonnées. Nous allons montrer que ses caractéristiques sont les lignes de courbure de la surface.

Si l'on pose, en effet,

6 = Xff,

"k étant le facteur de proportionnalité qui figure dans les formules (i5) et qui est défini par l'équation (17), l'équation linéaire prendra la forme

d'2<7 d2<7 t)'2cr p., da du

c'a2 dadp dp2 c'a dp

d'où le terme en a- a disparu, puisque A, étant une fonction linéaire des xt-, est une solution particulière de l'équation (28). L'équation

x- R ■ en o-, admettant les cinq solutions ~ ou -^ qui sont des fondions

linéairement indépendantes de x- -f- y- -\- z- , x, y, z, 1, devra admettre comme solutions particulières les mêmes fonctions

I, X, JK, *, ^2 + JK2+^2. v

Ce sera donc l'équation considérée au n° 143 et dont les caractéristiques sont les lignes de courbure. Les caractéristiques de l'équation en a- étant les mêmes que celles de l'équation en 9, notre proposition est démontrée. On en déduit immédiatement la conséquence suivante, qui, au fond, revient au théorème du n° 14-4 :

Si l'on connaît cinq solutions particulières xt, . . ., x5 d'une équation linéaire

(29) ■ 777 = AT- "+- B ~TÎ7 -+■ C9>

v y/ c'a dji c'a dp '

liées par la relation

les quantités xt sont les coordonnées pentasphéiiques d'un point d'une surf ace pour laquelle u.et (3 sont les paramètres des lignes de courbure.

D. — I. iS

De même, le théorème relatif aux systèmes orthogonaux, donné au n" 148, recevra l'expression nouvelle qui suit :

Etant données trois équations linéaires

I d20 dO dO

dp2dp, dpi dp2

d*o de do

(3o) v =nii- h ni— -h/?ie,

1 dp dp2 0p2 dp

d*e de de

' c*0 dpi

.s/,' f on en connaît cinq solutions particulières Xi satisfaisant à la condition

elles pourront être regardées comme les coordonnées pentasphériques d'un point de l'espace, et p, p,, p2 seront les paramètres de trois familles de surfaces se coupant mutuellement à angle droit (').

Considérons, en particulier, les trois équations

, d^6 d6 dPl p, ôpi

de

. d2e de 2('°2 p> dpdp^dp,

de "3ji =°-

N d»o de 2(p pO^-^^

de

qui admettent la solution commune

Q = A\/(a — p)(a— pi)(a — p2); si l'on pose

(02) f(u) = (u — ai) (u — «2 )•••(" — «s),

les cinq solutions définies par la formule générale

/oon „. 4 /(ai—p)(ai— pi)(at— p2) ,. ,.

(33) ^-=^/ jr^ (I = i, 2,. ..,5)

( ' ) G. Darboux, Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux {Annales de l'École Normale, 2e série, t. VII, 1878, p. 297).

LES COORDONNEES PENTASPHERIQUES. 275

satisferont à l'identité

Les formules (33) détermineront, par conséquent, un système triple orthogonal. Les surfaces qui le composent, et qui ont reçu le nom de cyclides, ne sont autres que les transformées par inversion de celles qui ont été définies au n° 145; elles sont représentées par l'équation unique

où l'on remplacera ~k successivement par p, p,, p2. Au reste, on vérifie immédiatement, en appliquant la condition d'orthogonalité (26), que deux surfaces correspondantes à deux valeurs différentes de X se coupent mutuellement à angle droit. En se servant des formules (33), on trouvera la foi^mule

/O-N / V1 ^ " CP — Pl)(p — P?) J 9

(00) 4^^Â= J 4r— J '~df

+ (P'-P>/P'-P»> dpl + (p.-pHp«-Pi) d -,

/(pi) y-(P2)

qui permet d'obtenir l'expression de l'élément linéaire dans le système orthogonal considéré. La formule (23) nous donnera

(36) M'A»;* CP — PiMp — P,)rf ,

(pi — P) (pi — p»)

^pi+(p2~p.l(p:~pi)^pf,

M ayant pour valeur

(37) M = ay ',/(«*- p)(«*- pi) («*- pp.

Si l'on fait, en particulier, p2=const., on obtient l'élément linéaire d'une des cyclides qui composent le système sous la forme

-"~Cp-P0[^4--^*f].

On voit que les cyclides possèdent la propriété, que nous avons déjà reconnue aux surfaces du second degré (n° 121), d'être divi-

sibles en carrés infiniment petils par leurs lignes de courbure. On pourra donc faire la carte d'une région quelconque tracée sur lune de ces surfaces.

loo. Dans la théorie des systèmes conjugués et des lignes asvmptotiques, l'emploi des coordonnées homogènes nous a permis de reconnaître immédiatement, et sans calcul, que les propriétés de ces systèmes et de ces lignes subsistent quand on soumet la surface à une transformation homographique ou à une transformation par polaires réciproques. Les coordonnées homogènes d'un point quelconque ne changent pas, en effet, quand on effectue une transformation homographique quelconque, pourvu que l'on suppose cette transformation effectuée sur le tétraèdre de référence en même temps que sur les points de l'espace. Le système des coordonnées pentasphériques jouit d'une propriété analogue par rapport à l'inversion. \ oici comment on peut le démontrer.

Rappelons d'abord que la théorie du contact des sphères, celle des centres et des axes de similitude ont conduit les géomètres à considérer le rayon d'une sphère comme une quantité susceptible de signe; de sorte que, dans beaucoup de recherches, il y a le plus grand avantage à regarder comme distinctes deux sphères de même centre, mais dont les rayons sont égaux et de signes contraires. Nous allons voir, en particulier, que, si l'on soumet une sphère quelconque à une inversion, on peut déterminer rationnellement le rayon de la sphère transformée en fonction du rayon de la sphère proposée.

Soient, en effet,

les formules qui définissent l'inversion.

Par l'application de ces formules à la transformation d'une sphère (S), de centre x0, y0, z0 et de rayon /', définie par l'équation

on obtient l'identité

LES COORDONNEES PENTASPIIERIQUES. 277

où X0, Y0, Z0 sont, donnés par les formules

/ , -, ^-0 1 0 Ai «il

et où l'on a