R= . ±AV

Ou poiu-ra prendre un signe arbitraire dans cette dernière formule ; mais, si l'on convient de prendre constamment le même signe, par exemple le signe + , les formules (41) et 'a suivante

(4*) R = ^ Tr , ,

détermineront, non seulement la position de la sphère transformée, mais encore le signe de son rajon. Dans cette hypothèse, la formule (4o) deviendra

S' désignant la puissance du point (X, Y, Z) par rapport à la sphère transformée, et l'on peut énoncer le résultat suivant :

Si Von divise la puissance S cV un point quelconque M par rapport à une sphère par le rayon r de cette sphère, et que

S Von soumette la figure entière à une inversion, le quotient —

se reproduira multiplié par une quantité qui ne dépend pas de la sphère et ne contient que les coordonnées du point M.

En particulier, les cinq quantités ^ se reproduisent toutes

multipliées par le même nombre et, comme les coordonnées xi leur sont proportionnelles, on peut dire que ces coordonnées demeurent invariables, le facteur de proportionnalité étant seul changé, pourvu que l'on rapporte la nouvelle figure aux sphères orthogonales qui dérivent des sphères primitives par l'inversion considérée. On voit ainsi que toutes les propriétés établies pour une figure et indépendantes du choix des sphères coordonnées subsisteront nécessairement pour toutes les figures inverses de la figure considérée.

Cette proposition étant admise, le théorème du n° 154 montre

immédiatement que l'inversion conservera les lignes de courbure de la surface.

156. Nous terminerons en indiquant les formules principales relatives à la sphère. L'équation (21), qui donne la distance de deux points, nous permet d'écrire immédiatement l'équation d'une sphère dont le rayon est p et dont le centre a pour coordonnées a, , . . ., a3, sous la forme

(43) 22a^-HP22ëES = °-

Cette équation est linéaire par rapport aux coordonnées xt. Réciproquement, toute équation de la forme

(44) Vm/,37/,= o

représente une sphère ou un plan. Il suffit, pour le reconnaître, de remplacer les x^ par leurs expressions (18) en x,y,z. Pour obtenir le centre et le rayon de cette sphère, il faudra identifier les équations (43) et (44)- On a ainsi les équations

(45) |im*=aa*-»- ^2^7 (* = i,..-,5),

où pi désigne le facteur de proportionnalité.

Gomme on peut multiplier les a# par un nombre quelconque, on peut remplacer le facteur jx par un nombre arbitrairement choisi; nous ferons, par exemple,

fi = 2.

Multiplions les deux membres de l'équation (45) par ^- et

ajoutons les équations correspondant aux diverses valeurs de l'indice k. En tenant compte de la relation

déjà signalée dans la note du n° 152, nous aurons

jL R/, ~~ Zà R/, '

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 279

D'autre part, si nous ajoutons encore les équations (45) après avoir élevé leurs deux membres au carré, nous trouverons

Le rapprochement des deux formules précédentes nous donnera

Zu R/,

et, en portant cette valeur de p dans l'équation (45), nous aurons -(47) ayt=/7z/.

iR/c ^i /n.jt

2ur7c

Telle est la formule qui fera connaître les coordonnées pentasphériques du centre.

Une sphère est complètement déterminée si l'on connaît les rapports des cinq quantités m* que, pour cette raison, on peut appeler les coordonnées homogènes de la sphère. Mais, dans toutes les questions où le signe du rayon entre en considération, il est nécessaire d'introduire une coordonnée nouvelle, propre à faire connaître la valeur du radical qui figure dans l'expression du rayon. Nous poserons, en désignant par mG cette sixième coordonnée,

(48) im6= { / y ml,

afin que la relation entre les six coordonnées prenne la forme très symétrique

Deux sphères ayant même centre et des rayons égaux et de signes contraires auront les mêmes coordonnées mKl ..., m5; mais les coordonnées m6 seront égales et de signes contraires. On aura,

d'après la formule (46),

(•jo) P=-s

Zj, Re-

cela posé, considérons deux sphères (S), (S'), de coordonnées nik, m'k respectivement, et soient d la distance.de leurs centres, o, o' leurs rayons. Les formules (21) et (47) nous permettent de

calculer d et nous donnent

— 1 \ ni/c m'fc

-^1 m /,• -^ mk

Si donc nous voulons calculer l'angle V des deux sphères, en le définissant d'une manière précise par la relation

(52) di=p--hp'ï — 2pp'cosV,

nous aurons, en appliquant les formules (5o), (5i),

( 53 ) m6 m'6 cos V = — ^ nik m).

et, par conséquent,

( 54 ) îfflf m'6 si n 2 — = > in/; mk.

Ces formules vont nous conduire à plusieurs conséquences et, en particulier, à la définition géométrique des coordonnées de la sphère.

Supposons que la sphère (S') se réduise à la sphère coordonnée (Sa), on aura

m[ = o, ..., >n'k=\, ..., rn'$ = o, et la formule ( 5o), où l'on fera p = R*, nous donnera

LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES. 28 I

l'équation (53) deviendra donc

mjs= im6 cosV/,-,

Va désignant l'angle de la sphère (S) avec la sphère (S*).

Ainsi, les cinq premières coordonnées ml: . . ., m5 d'une sphère quelconque sont proportionnelles aux cosinus des angles de cette sphère avec les sphères coordonnées. De plus, la relation entre les six coordonnées prendra la forme

2cos«V*= i,

tout à fait analogue à celle qui relie les angles d'un plan avec les trois plans coordonnés dans la Géométrie de Descartes. La formule (53) pourra s'écrire aussi sous la forme

(55) cosV= y cosV/t cos V*,

et son analogie avec celle qui donne le cosinus de l'angle de deux plans est également évidente.

La formule (54), si l'on tient compte de la relation identique entre les coordonnées, peut s'écrire

(56) 4 m6m'6 sin- — = — / ('"/,• — mk)~

Si l'on suppose que les deux sphères sont infiniment voisines, leur angle dv sera donc fourni par la relation

(5j) m\dv~ = — > dm%.

Toutes les fois que deux sphères sont tangentes, elles se coupent sous l'angle zéro ou tc; mais, dans les théories où l'on tient compte du signe du rayon, il y a avantage à considérer comme tangentes seulement celles qui se coupent sous l'angle zéro. Ainsi

entendue, la condition de contact s'exprime parla relation

(58) \ (nik — m/.-)2 = — 2 / ni-k>n'k = °-

Quand les deux sphères sont infiniment voisines, la distinction relative au signe du rayon disparaît et la condition de contact devient

(5g) 2^dml.= o.

lo7. La forme de la condition de contact conduit à un rapprochement capital entre la géométrie des sphères et celle des lignes droites. Reprenons les équations de la ligne droite, écrites sous la forme déjà employée au n° 139,

Les six coordonnées homogènes de la ligne droite satisfont, nous l'avons vu, à l'équation identique

(6i) PPi-+-gqi-t- rrx= o,

et réciproquement (n° 139), six quantités satisfaisant à celte relation définiront toujours une ligne droite. L'équation (6i) est quadratique, comme la relation (49) entre les six coordonnées de la sphère, et l'on peut ramener ces relations l'une à l'autre en posant

( p = jHi-h im2, q = m 3 -i- i/nt, r = m&-h im6,

( pt = m-i — im2, qi = m.3 — im^, i\ = /ns — i7?i6,

— ry

+Pi

— pz

— qx + /"]

ou, ce qui est la même chose, (63)

p-hpi q-^q\

mx= - — , ni3— - — , mk

■ Pi — p -<7i — q -ri

Les formules (62) ou (63), qui conduisent à l'identité

ppi-t- qqi-+- rr!=2 ji

m'ki

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUKS. 283

font correspondre à toute droite une sphère et vice versa. De plus, si l'on considère deux sphères, de coordonnées mK^ nik respectivement, et les deux droites correspondantes, de coordonnées/?, q, r, ...; p', q1 ', /■', ..., il résulte de l'identité précédente et de la forme linéaire des équations de correspondance l'identité plus générale

(64) (p— p')(pi— p\)

+ (? — ?')(?i— ?i) + (r — r') (7'i — ri ) = 2(m/"'~ m'k^'

Le second membre de cette formule s'annule quand les deux sphères sont tangentes, et seulement dans ce cas ; le premier membre s'annule quand les deux droites considérées se coupent. On voit donc que la transformation définie par les formules (62) ou (63) fait correspondre à deux sphères tangentes deux droites qui se coupent et vice versa.

Au reste, on peut définir cette transformation sans passer par les coordonnées homogènes qui ont été l'objet de nos études dans ce Chapitre; car, si l'on prend les équations d'une droite sous la forme

x = az -+-p,

y = bz H- q,

la condition pour que deux droites différentes se coupent s'exprime par la relation bien connue

et si l'on pose

et, de même,

cette condition devient

(x — x'y+ (y - y' )*+ (z - z'y-- (R - R'y = o. Si donc on considère les formules (66) comme établissant une

( a = x-^yi,

1 g = oc—yi,