LIVRE II. — CHAP. VI. — LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES

correspondance entre la droite arbitraire représentée par les équations (65), et la sphère dont le rayon serait Ret dont le centre aurait pour coordonnées cartésiennes x, y, z, on voit que ces formules font correspondre à deux droites qui se coupent deux sphères qui se touchent, et réciproquement.

Cette transformation, qui établit une liaison entre les lignes droites et les sphères, c'est-à-dire entre les éléments les plus essentiels de l'espace, est une des plus belles découvertes de la Géométrie moderne; elle est due à Sophus Lie qui, dans un Mémoire inséré au Tome V des Mathematîsche Annalen (f), l'a présentée avec ses plus importantes conséquences. Au nombre de ces conséquences, il faut surtout citer la suivante :

La transformation de Lie fait correspondre à I.' ensemble des droites tangentes à une suif ace (S) V ensemble des sphères tangentes à une autre surface (S'). A toutes les droites qui sont tangentes en un point M de (S) correspondent toutes les sphères qui sont tangentes en un point M' de (S'). Quand le point M décrit une ligne asymptotique de (S), le point M' décrit une ligne de courbure de (S'). Par suite, à toute surface dont on sait déterminer les lignes asymptotique s, on peut faire correspondre par la transformation de Lie une autre surface dont on connaîtra les lignes de courbure et vice versa.

Nous avons étudié ce théorème avec tous les détails nécessaires dans notre Cours de 1881-82, qui avait pour objet la théorie géométrique des équations aux dérivées partielles. Nous y serons conduit plus loin par une voie indirecte; mais, pour l'établir avec toute la largeur désirable, nous serions obligé de développer ici une théorie du contact qui nous éloignerait de notre objet et que nous réserverons pour une autre occasion.

(l) Sophus Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien und Kugel-Complexe> mit Anwendung auf die Théorie partieller Differentialgleichungen [Mathematische Annalen, t. V, 1871, p. T^ô-aSô).

LES LIGNES DE COURBURE EN COORDONNEES TANGFNTIT- LLFS.