CHAPITRE VIL

Cas où la surface est définie par son équation tangentielle. — Application à la surface de quatrième classe, normale à toutes les positions d'une droite invariable dont trois points décrivent trois plans rectangulaires. — Cas où les coordonnées tangentielles sont exprimées en fonction de deux paramètres. — Première solution du problème ayant pour objet la détermination des surfaces admettant une représentation sphérique donnée pour leurs lignes de courbure. — Développements sur un système particulier de coordonnées tangentielles employé par O. Bonnet dans l'étude des surfaces.

158. Nous allons passer maintenant à l'examen du cas dans lequel la surface est définie par une propriété de ses plans tangents, et nous supposerons d'abord que l'on connaisse l'équation homogène qui relie les coordonnées du plan tangent

les axes étant rectangulaires. Le point de contact du plan tangent aura pour coordonnées

et les cosinus directeurs de la normale seront proportionnels à M, v, w. Pour obtenir l'équation différentielle des lignes de courbure, il suffira donc d'appliquer l'équalion (4) du il0 138, ce qui donnera

àf

dp du

— -f- d-Jdu dp

u du

dU>±

dp dv

-fdf

dv dp

v dv

dp dw

-d±dd-l

dw dp

w dw

ou, sous une forme plus symétrique,

à[ du

àf

EL dp

Il importe de remarquer, en vue des applications, que l'équation précédente conserve encore sa forme, alors même que l'équation (i) n'est pas homogène, pourvu que l'on suppose «, f, w égaux aux cosinus directeurs de la normale et liés par l'équation

Pour le démontrer, supposons que l'équation (i) ne soit pas homogène. On peut toujours la rendre homogène et de degré zéro, par exemple en divisant u7 v, w, p par la quantité

h = \Zu*-\- t>2-+- w2,

qui est égale à l'unité. Alors il faudra mettre, à la place de -~j -ri

' ° L au dv

àf

— dans l'équation (3),

dw 1 \ / >

du dh h '

àf^df v dv ' dh h

ÈL + dl™,

dw dh h

ce qui équivaut à ajouter aux deux premières colonnes du déterminant (3) les deux dernières multipliées par des coefficients convenablement choisis, et ne change pas, par conséquent, la valeur du déterminant.

159. Considérons, par exemple, la surface de quatrième classe définie par l'équation

au--+- bv--+- cw'2 (4) P = ,

où w, c, w sont les cosinus directeurs de la normale; p désigne donc la distance de l'origine au plan tangent. En rendant, pour un instant, l'équation homogène et appliquant les formules (2), on

trouvera, pour les coordonnées du point de contact du plan tangent, les valeurs

et, pour celles d'un point de la normale situé à la distance \ du pied de cette normale,

(6) X = Qb-hX — a)u, Y = (/3 + X — b)ç, Z = (p -+■ X — c)w.

Les points où la normale coupe les trois plans coordonnés correspondent aux valeurs

dont les différences sont constantes. On a donc déjà cette élégante proposition :

Lorsque trois points d'une droite invariable décrivent trois plans rectangulaires et que, par conséquent, tous les autres points décrivent des ellipsoïdes, la droite demeure constamment normale à une famille de surfaces parallèles représentées par une équation de la forme

,. (a -h k)u*+(b-hk)v*-h(c^-k)wî (b) p — ,

où k désigne la constante qui varie quand on passe d^une des surfaces à la surface parallèle (l).

On peut, d'ailleurs, obtenir très aisément une construction par points de ces surfaces. Cherchons le pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la normale. La valeur X correspondant à ce point sera déterminée par l'équation

itX + pY + icZ = o,

qui donne, en appliquant les formules (6),

Soient P ce point, M le point où la normale coupe le plan des yz et qui correspond, nous l'avons vu, à la valeur X = a — p. Le milieu du segment PM correspond évidemment à une valeur de \ qui est la demi-somme des valeurs précédentes et, par suite, égale

( ' ) G. Darboux, Sur une nouvelle définition de la surface des ondes (Comptes rendus, t. XCII, 1881, p. 44^)-

à — • Cette valeur étant constante, le milieu du segment décrira une surface parallèle à la proposée. Ainsi, si l'on considère toutes les positions de la droite invariable mobile, le milieu du segment formé par le point où cette droite coupe V un des plans coordonnés et par le pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite décrit V une des surfaces normales à la droite dans ses diverses positions ( ' ).

Proposons-nous maintenant de déterminer les lignes de courbure. L'équation (3) prend ici la forme

u du a du

v dv b dv = o,

w dw c dw

et son intégrale, qu'on trouvera aisément, est définie par l'équation

où p désigne la constante arbitraire. Ce résultat s'interprète comme il suit :

La représentation sphérique des deux familles de lignes de courbure de la surface est donnée par un système d'ellipses sp/iériques liomofocales (-).

(J) Dans un Article inséré au Bulletin des Sciences mathématiques (a0 série, t. IX, i885, p. 137), Mannheim a retrouvé tous ces résultats par des considérations de pure Géométrie.

(2) Nous ne voulons pas insister sur cette étude particulière, et nous nous contenterons d'énoncer ici les deux propositions suivantes :

i° Considérons l'ellipsoïde (E) défini par l'équation

x1 y- zabc

La transformation homo graphique définie par les formules

\Jma -

\/mb

sTb

\/mc -h n m \Jc où m et n désignent deux constantes quelconques, fait correspondre aux

160. Supposons maintenant qu'étant donnée une surface quelconque, on connaisse les expressions des coordonnées tangentielles en fonction de deux paramètres a, (3. Les coordonnées du point de contact du plan tangent satisferont (n° 96) aux trois équations

Un point situé sur la normale à la distance X de son pied aura pour coordonnées

ul vl wl

do) * = *+X' Y=^T' Z = Z+-1T>

h désignant le radical

ux -+• vy

div

dp da

dw Z-dJ

(ri) /; = \fu? -+- v~-\- w'2.

Remplaçons, dans les équations (g), x, y, z par leurs expres-

normales de (E) celles de V ellipsoïde (Et) ayant pour équation X2 Y2 Z2

ma -+- n mb ■+- n me -+- n si l'on pose

et si, laissant À"2 fixe, on fait croître m indéfiniment, l'ellipsoïde (E,) se transforme en une sphère de très grand rayon, et ses normales deviennent les droites invariables dont trois points décrivent les plans de symétrie de (E)' Ces droites dérivent des normales de (E) par la transformation homogra-

phique

kX kY ~kZ

\Ja \/b \Jc

qui est comprise comme cas limite dans la première (ce), et s'en déduit lorsqu'on y introduit les hypothèses faites sur m et sur n.

La surface étudiée dans le texte peut donc être considérée comme une surface parallèle à un ellipsoïde dont les axes ont grandi indéfiniment.

2° Si une surface quelconque Jouit de la propriété qu'il existe une transformation homo graphique, transformant ses normales dans les normales d'une autre surface et conservant le plan de l'infini, les lignes de courbure de cette surface peuvent toujours être déterminées et admettent pour représentation sphérique un système d'ellipses homo focales.

D. — I. IQ

sions tirées des formules (10); les équations ainsi obtenues

«X+ vY -+- wZ -+- p = h~k,

X— 4-Y— + Z— h-^ = X — , da da. da da da

au àv dw

dp . àh

définiront le point considéré de la normale. Pour trouver l'équation différentielle des lignes de courbure, nous écrirons encore qu'il existe un déplacement pour lequel le point correspondant à une valeur convenablement choisie de X décrit une courbe tangente à la normale, c'est-à-dire pour lequel on a

rfX

dM étant introduit pour l'homogénéité.

Si l'on différentie dans cette hypothèse les formules (12), la première donnera

u dX -+- v d\ -+- w dZ -h X du -\-Ydv-\-Z dw -+- dp = X dh -+- h d\,

ou, en tenant compte des deux suivantes et des formules (1 3), (14) h*dQ = hd\, dl = hdB;

la différentiation des deux dernières formules (12) nous conduira alors aux deux équations

X d - \-Y d - hZ d — -

da da da

dd£=\dd±

da oa

du àv dw dp . dh

-+YdT^Zd^+d-^=\dw

Enfin, l'élimination de X, Y, Z, X entre les é-quations (12) et (i5) nous donnera l'équation cherchée sous forme de déterminant

dâ

da.

dp da

àh

du da

,àh da

àh

161. Cette équation différentielle offre la plus grande analogie avec celle que nous avons formée (n° 143) pour les coordonnées ponctuelles, et la répétition des raisonnements employés aux nos 143, 144 nous conduit aux propositions suivantes :

Formons l'équation Linéaire aux dérivées partielles

(I7) -^^^d^^cw ^-^ ^ '

qui admet comme solutions particulières les cinq fonctions u, v, W, p, h, de&etde (3. Lorsqu'on l'aura obtenue d'une manière quelconque, les caractéristiques de cette équation, définies par V équation différentielle

(ï8) Atfps— Btfac?p + Cda2 = o,

seront les lignes de courbure de la surface; par suite, si les coefficients A et G sont nuls, a et ,3 seront les paramètres des lis; nés de courbure.

Cette proposition générale entraine comme conséquence le théorème suivant :

Etant donnée l' équation

où A', B', G' sont des fonctions quelconques de a et (3, si l'on en connaît quatre solutions particulières u, v, w, h, liées par la relation

la surface enveloppe du plan

uX. -t-ç>Y-i-tvZ-T-6 = o,

où H désigne une solution quelconque de V équation (19), sera rapportée au système de coordonnées curvilignes (a, (3) formé par ses lignes de courbure.

En effet, l'équation linéaire de la forme (17), à laquelle satisferont alors les cinq quantités u, v, w, p, h relatives à cette

surface, sera l'équation (19) el, par conséquent, a et fi seront les paramètres des lignes de courbure.

Nous avons montré (n° 98) que, lorsqu'on a obtenu sur une surface un système conjugué quelconque, les coordonnées tangentielles m, ^, (V,/>, considérées comme fonctions des paramètres a et fi des deux familles conjuguées, doivent satisfaire à une équation linéaire de la forme (19). L'équation linéaire relative au système conjugué formé par les lignes de courbure se distingue, on le voit, de toutes les autres par la propriété d'admettre en outre la solution

On peut, ici encore, énoncer une proposition analogue à celle <jui a été démontrée au n° 144 pour les coordonnées ponctuelles.

Si Von connaît une équation de la forme (19) admettant ■quatre solutions 9,, 9o, 93, 94 liées par une relation quadratique homogène à coefficients constants

on peut obtenir une infinité de surfaces admettant a et fi pour paramètres de leurs lignes de courbure.

Il suffit de ramener par une substitution linéaire quelconques coefficients constants la relation quadratique précédente à la

forme

Alors, l'enveloppe du plan

•où 9 désigne une solution quelconque de l'équation (19), est une surface admettant a et fi comme paramètres de ses lignes de courbure.

162. Les théorèmes précédents permettent de former, d'une manière très simple, l'équation aux dérivées partielles dont dépend la recherche des surfaces qui admettent pour représentation .sphérique de leurs lignes de courbure deux familles de courbes orthogonales, choisies arbitrairement sur la sphère de rayon 1 .

LES LIGNES DE COURBURE EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 2g3

Soient en effet ;/, p, w, h les coordonnées homogènes d'un point de la sphère, qui seront liées par l'équation

et que nous supposerons exprimées en fonction des paramètres a, jades deux familles orthogonales. Un système orthogonal tracé sur la sphère étant, par cela même, un système conjugué, w, v1 w, h satisferont à une équation de la forme

équation qu'il sera facile d'obtenir d'une manière explicite, puisqu'on en connaît les quatre solutions particulières u, c, cr, h. Cela posé, le plan tangent de la surface, étant parallèle au plan tangent correspondant de la sphère, sera représenté par une équation de

la forme

mX -+- cY -+- wZ -+- p = o,

où p devra satisfaire à la même équation linéaire que w, v, wT c'est-à-dire à l'équation (21). Il suffira donc, pour résoudre le problème, d'intégrer l'équation (21), et chaque solution particulière de cette équation donnera une solution particulière du problème posé.

Supposons, par exemple, que l'on se propose de déterminer les surfaces admettant pour représentation sphérique de leurs lignesde courbure un système d'ellipses sphériques homofocales; p, p, désignant les paramètres de ces ellipses, on aura ici

(a — p)(« — Pi) „ (b — o)(b — p,1) „ (c — p)Cc — pt)

L'équation à laquelle satisfont u, v, w sera la suivante :

, , , x d20 àf) db

(22) 2(0— pi)- h^ ; — = O.

àpdoi dp dpi

et il suffira d'intégrer cette équation pour obtenir la solution complète du problème proposé.

La surface étudiée au n° 159 correspond à la solution

Nous aurons l'occasion de revenir sur le problème général dont nous venons d'indiquer une solution.

163. Au lieu de poursuivre ces applications particulières, nous allons monlrer comment on détermine les rayons principaux et les lignes de courbure quand on adopte un système spécial de coordonnées tangentielles que nous allons définir.

Lorsqu'on étudie la représentation sphérique, il est naturel de rechercher la définition géométrique des courbes de la surface qui admettent pour représentation sphérique les différentes génératrices rectilignes de la sphère. Soit d l'une de ces génératrices, coupant le cercle de l'infini en un point [jl. La courbe qui lui correspond sur la surface sera évidemment le lieu des points de contact des plans tangents parallèles à d; en d'autres termes, ce sera la courbe de contact du cône de sommet u. circonscrit à la surface.

Ces courbes de contact des cônes circonscrits dont le sommet se trouve sur le cercle de l'infini jouissent, relativement aux lignes de courbure, d'une propriété importante que nous allons signaler. D'abord, il en passe deux par chaque point M de la surface; car soient A et B les points où le plan tangent en M coupe le cercle de l'infini : les cônes circonscrits de sommets A et B toucheront la surface suivant deux courbes passant en M. Les deux tangentes à ces courbes de contact auront pour conjuguées les génératrices de ces deux cônes, c'est-à-dire les deux droites de longueur nulle du plan tangent, MA, MB. Or, ces deux droites MA, MB sont placées symétriquement par rapport à deux tangentes perpendiculaires quelconques et, en particulier, par rapport aux directions des lignes de courbure. Il en sera donc de même de leurs conjuguées qui sont les tangentes aux deux courbes de contact. De là le théorème suivant :

Les courbes de contact des cônes circonscrits qui ont leurs sommets sur le cercle de V infini déterminent sur la surface un système de coordonnées curvilignes imaginaires, admettant pour image sphérique le système des génératrices rectilignes de la sphère. Les tangentes aux deux courbes coordonnées qui passent en un point quelconque de la surface admettent pour bissectrices les directions des lignes de courbure.

Par conséquent, si l'on emploie le système de coordonnées que nous venons de définir, l'équation des lignes de courbure pourra être ramenée à la forme simple

A<tfa2-+-Cdp2=o et ne contiendra plus le terme en da. dfi.

164. Voici comment on vérifie cet important résultat. Désignons toujours par c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en un point M de la surface ; c, c' , c" seront les coordonnées du point m qui sert de représentation sphérique à M.

Les expressions de ces coordonnées en fonction des paramètres a, (3 des génératrices rectilignes de la sphère ont déjà été données (n° 15). Elles sont

. os t — aS . i-f-aB ,, a -h 6

Nous écrirons l'équation du plan tangent à la surface sous la forme

ex -+- c y -+- c z -+-

<x— p ou, plus simplement,

(24) (ï— *P).r-f- i(î -h u$)y + (a + $)z -4- £ = o. On aura donc ici

u = 1 — a[3, c = i(i-t-ap), w = a -+- p, p = ç.

L'application des formules (9) nous donne d'abord les coordonnées du point de contact. On trouve ainsi

(25) x-iy=*=£, x+iy=*lp-Pq -\, z = &=ÏP,

p et q désignant les dérivées premières de £, considérée comme fonction de a et de (3. En appelant de même r, 5, £ les dérivées secondes, l'équation (16) des lignes de courbure devient ici

(26) dp dy. — dqd$ = r da.*- —td$*= o,

et les formules générales (12) et (i5), qui font connaître le centre

principal et le rayon de courbure correspondant, nous donnent

2R = (s-+- \/rt)(oi. — P) -*-p — q, X — i\ = s 4- y/77,

2Z = (a -4- P) (s -+- //'0 — /> — q, X-f-'iY= — ap(s-+- \Ay) -*-a/> -f- (Jgr — £,

X, Y, Z, R désignant les coordonnées du centre principal et le rayon de courbure. Dans toutes ces formules, on a pris pour -j-

la valeur 4 / -, en sorte que \/rt est mis à la place de

'âT 7'^p'

L'équation des lignes asymptotiques s'obtiendra aisément. Elle se présentera ici sous la forme suivante :

(28) (r d**+isdad$-*-t d^-)(a — p) -4- i{p — q) d>xd§ = o.

Quant à l'élément linéaire de la surface, il sera donné par la formule

<*>) *•=» (<*/> + £5f rfp) fa -+- fîrfVa) •

165. Les formules précédentes se prêtent à une foule d'applications intéressantes, tant à cause de leur simplicité que du choix des variables auxquelles elles se rapportent. On peut leur donner une autre forme, qu'il vaudra mieux employer dans certaines recherches.

Nous avons pris pour les cosinus directeurs de la normale les expressions (23). Les variables a, (3 possèdent ce grand avantage de se transformer par la même substitution linéaire quand on effectue, soit un changement d'axes, soit un déplacement de la surface. Mais, dans certaines applications où il s'agit de surfaces réelles à déterminer, les variables complexes a et (3 offrent un inconvénient résultant de ce qu'elles ne sont pas imaginaires conjuguées. Nous avons vu que, pour tout point réel, a a pour conjuguée — -5* Nous changerons donc, dans les formules (23), (â

en — 7, » ce qui donnera pour les cosinus directeurs les expressions

suivantes, déjà employées au n° 27 :

i -f- ap i -h a[3 i + ap

et nous prendrons pour l'équation du plan tangent

(3o) (a 4- B).z + i(p — *)y + (aB — i)z -+- £ = o;

£ sera maintenant une variable réelle et a, [J des variables imaginaires conjuguées toutes les fois que la surface sera réelle, et qu'il s'agira de plans tangents réels.

Les coordonnées du point de contact du plan tangent auront maintenant pour expressions

(3i) { .r — iy=— l— L â^-^—p,

I i -f- ap

I • a(£ — /ja — çrfi)

\ i + ap

L'équation différentielle des lignes de courbure sera

( 32 ) dp d% — dqd$ = r da? — t <f (32 = o,

comme dans le cas précédent.

Les formules faisant connaître le centre et le rayon de courbure deviendront

2R = \— pu — gp + (n-ap) (s -h s/ri), iZ = %—pz — q$ — (i — oi$)(s-+- s/ri), X — îY = — p-+- p(«-H y/r*),

Sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'elles fourniront pour X, Y, Z, R des expressions essentiellement réelles.

On passera d'ailleurs du premier système de formules au second en faisant la substitution très simple

Enfin, on obtiendra également sans difficulté l'équation diffé-

rentielJe des lignes asymptotiques, qui est ici

(35) (1 -f- x(J) (rdn°- + 1 s d<x d^ -+- t d$*-) -+> 1 doc d$(% —pct — g^)= o, et l'expression de l'élément linéaire

(36) ds*=(zda-hdq)(zd$-+-dp),

qui se présente ainsi décomposé en ses deux facteurs.

166. 11 ne sera pas inutile d'examiner, en vue des applications ultérieures, ce que deviennent les coordonnées a, (3, % quand on change les axes coordonnés ou, ce qui est la même chose, quand on déplace la surface. Considérons d'abord le système primitif dans lequel l'équation du plan langent est

(i aP)X + »(i + «P)YH-(a-»-P)Z-HÊ 0.

Quand on imprimera à la surface une translation de composantes À, ui, v, il faudra, dans l'équation précédente, remplacer X, Y, Z par X — A, Y — ^., Z — v ; la nouvelle valeur ç' de £, sera donc

(37) ^=^A(I ap)jfA(I + ap)(a + p)v.

Imaginons maintenant que l'on fasse tourner la surface autour de l'origine des coordonnées. Si nous remarquons que, d'après leur définition, a et j3 sont les coordonnées symétriques du point m qui, sur la sphère de rayon 1, sert de représentation sphérique au plan tangent, il résultera des propositions développées (Livre 1, Ghap. III) que les nouvelles valeurs a,, (3, des coordonnées a, (3 s'obtiendront par une même substitution linéaire effectuée sur a et sur [3. On aura

Désignons par £, la nouvelle valeur de £. La distance de l'origine au plan tangent n'ayant pas changé, on aura

ou, en remplaçant a, (3 par leurs valeurs, (4o) g = - 6i(my-.np)

(/> <*!-+- <7)<>Pi-+- <?)

La question proposée est donc complètement résolue, en ce qui concerne le premier système de coordonnées.

167. En reprenant la même méthode pour le second, dans lequel le plan tangent a pour équation

X(;a + P) + iY(P-a) + Z(ap-i) + £ = o,

ou bien en passant du premier système au second par la substitution (34), on verra qu'une translation Çk, u, v) de la surface donne la nouvelle valeur de £

(40 Êt=Ê-X(a4-P)-i>(P-a)-v(aP-i).

Et, de même, une rotation autour de l'origine des coordonnées sera définie par les formules

poii-\- q n pi — m

//ON t h(m9 — nP)

U°; ? (//t-/i(31)(JP«i + <7)'

a<, p,3 Çj désignant les nouvelles coordonnées. Si la rotation est réelle, on pourra prendre (n° 29)

m0, n0 désignant les imaginaires conjuguées de m et de n. Les équations précédentes donneront alors

«0*1-1-^*0 /l pi -H 771

mmtj-A- nn0

(m — 7ip\)(/?70— «0*1 )

Ces formules nous seront utiles dans la théorie des surfaces minima.

168. Nous ne terminerons pas cette étude de nos deux systèmes de coordonnées a, (3, £ sans signaler le Mémoire sur l'emploi d'un nouveau système de variables dans V étude des propriétés des surfaces courbes, publié par O. Bonnet en 1860 dans le Journal de Liouville, 2e série, t. V, p. i53-a66. Les variables dont Bonnet fait usage dans ce travail considérable ne sont pas autre chose que