CHAPITRE YIII

La comparaison des résultats donnés précédemment pour les équations différentielles des lignes asymptotiques et des lignes de courbure conduit naturellement à une belle découverte de S. Lie, la transformation de contact dans laquelle les lignes de courbure d'une surface correspondent aux lignes asymptotiques de sa transformée . — Emploi du système de coordonnées tangentielles précédent pour définir une autre transformation découverte en 1870 par Ribaucour et dans laquelle, comme dans l'inversion, les lignes de courbure sont transformées. — Cette transformation a été nommée par Laguerre transformation par directions réciproques. — On donne sa construction géométrique et ses principales propriétés. — Paivni celles que l'on indique, il faut signaler la suivante : Les deux surfaces qui se correspondent peuvent être considérées comme les deux nappes de l'enveloppe d'une famille de sphères qui coupent un plan fixe sous un angle constant. — Les points homologues des deux surfaces sont sur un cercle qui coupe à angle droit le plan fixe; le rapport anharmonique de ces deux points et de ceux où le cercle coupe le plan fixe est un nombre constant. — Comme toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure, la transformation par directions réciproques résulte d'un certain nombre d'inversions et de dilatations.

Formules relatives à l'inversion dans le système de coordonnées tangentielles

169. Nous aurons à faire différentes applications des systèmes de formules développés dans le Chapitre précédent. Dès à présent, notis allons étudier les suivantes, et, comme il s'agit de recherches générales, nous emploierons de préférence le premier système de formules étudié dans les nos 164 et 166.

Remarquons d'abord que l'équation différentielle (26) (n° 164) des lignes de courbure est identique à l'équation différentielle des lignes asymptotiques donnée au n° 117. De là ce premier résultat :

A toute surface dont on connaît les lignes asymptotiques on peut faire correspondre une surface dont on saura déterminer les lignes de courbure, et vice versa (1).

(!) Le rapprochement des formules données aux n°s 117 et 164 nous conduit au

Nous avons déjà signalé (n° 157) cette belle proposition due à S. Lie; nous nous contenterons de remarquer ici que dans l'équation (3o) (n°117) des lignes asjmptotiques, a et fi désignent des quantités réelles pour tout point réel de la surface, tandis que, dans celle des lignes de courbure, a et fi sont des variables complexes, même pour un point réel; par conséquent, la correspondance définie par la proposition précédente ne saurait exister entre les éléments réels de deux surfaces réelles.

Envisageons maintenant l'équation différentielle des lignes de courbure

(î ) dp dot. — dq d$ = /• rfa2 — t d$* = o ;

elle possède de nombreuses propriétés qui, toutes, donnent naissance à des théorèmes de Géométrie.

D'abord, elle ne change pas de forme si l'on remplace £ par la nouvelle variable

(2) £'=£4-A«[3 + BaHrC!3 -+-D,

A, B, G, D désignant des constantes quelconques.

Proposons-nous de définir géométriquement cette transformation.

On peut évidemment l'obtenir par la composition des deux

résultat suivant : Désignons par x, y, z les coordonnées d'un point de la surface dont on connaît les lignes asymptotiques, et par/» et q les dérivées de z considérées comme fonction de a? et de y; soient X, Y, Z, P, Q les quantités analogues relatives à la surface transformée dont les lignes de courbure correspondent aux lignes asymptotiques de la première. On aura

D qx—i

px

+ qy

— iY =

px + qy

La théorie des transformations de contact permet, d'ailleurs, de déduire toutes ces formules des relations

X-hiY = — z — xZ, x{X — iY) = Z—y, qui contiennent seulement les coordonnées des points correspondants.

APPLICATIONS DIVERSES. 3o3

suivantes :

£'=£ + A(a-i-[3) + Ca[B-f-D,

La première équivaut, on le reconnaît aisément, à une translation de l'origine des coordonnées ; la seconde remplace la surface par une surface parallèle menée à la distance h de la première. On sait, en effet, que, sur deux surfaces parallèles, les lignes de courbure se correspondent. Ainsi, la première propriété de l'équation différentielle des lignes de courbure qui se présente à nous n'est que la traduction analytique d'une proposition géométrique importante, mais très connue.

170. Le déplacement le plus général de la surface proposée se traduirait par une substitution linéaire quelconque effectuée sur a et sur (3. Cela nous conduit à la proposition générale suivante, qu'on vérifiera sans difficulté :

L'équation différentielle (i) conserve encore sa forme si Von substitue à a, (3, £ les variables a', ^', £' définies par V une ou Vautre des substitutions

<3> »=££!' i^eTFW r=m(Ca'+D)(C,^D,),

où A, A1? . . ., H désignent des constantes quelconques.

Par conséquent, les formules (3) ou (4) font connaître une transformation de surfaces qui conserve les lignes de courbure. Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer que cette transformation, quand elle est réelle, peut toujours être obtenue par l'emploi combiné d'un déplacement, d'une transformation homothétique et de la suivante qui, au premier abord, pourrait paraître trop particulière.

k désignant une constante quelconque, prenons

3o4 LIVRE IF. — CHAP. VIII.

Ces formules font correspondre au plan (P) défini par l'équation (i — <xp)X-H i(n-aP)Y-K(a-4-p)Z-+-S = o

un autre plan (P') ayant pour équation

(ï aj3)X + i'Cr -4- «^ Y + T^^ P H- j— £ « 1 Z -+- £ = o.

Nous voyons déjà que l'intersection de deux plans correspondants se trouve dans un plan fixe, le plan des xy. Voici comment on achèvera de définir la transformation.

Associons au plan (P) de la première figure le point m dont les coordonnées sont les cosinus directeurs de la normale au plan

i — aB , . i-+-aS ,, a -4- S

C = ~ , C = l jr-, c = -•

Ce point se trouve sur la sphère de rayon i ayant l'origine pour centre et, si le plan (P) enveloppe une surface (S), il est la représentation sphérique du point de contact de (P) et de (S).

Associons de même au plan(P') le point m' dont les coordonnées

sont

— ; r i ' l — i TTT ' — "i 07'

et dont la relation à (P') est la même que celle de m à (P). Les formules (5) expriment, on le vérifie sans difficulté, que les points m, m' sont en ligne droite avec un point fixe situé à la distance k sur l'axe des z. De là résulte la définition géométrique complète de la transformation.

Soient (S), (S') deux surfaces correspondantes. Les plans tangents aux points correspondants se coupent dans un plan Jixe (II). Les images sphériques des points correspondants sur la sphère de rayon i, placée d'une manière quelconque dans l'espace, sont inverses l'une de l'autre par rapport ci un point fixe A, situé sur le diamètre de la sphère qui est perpendiculaire au plan (II).

Cette proposition permet évidemment de construire les plans tangents de (S') quand on connaît ceux de (S). En ce qui concerne les points de contact, nous ajouterons la remarque suivante qu'on

APPLICATIONS DIVERSES. 3o5

pourra vérifier, mais qui résultera aussi des propositions établies plus loin :

La droite qui joint les deux points de contact correspondants est parallèle à celle qui relie les images sphériques de ces deux points.

Les relations que nous venons d'indiquer entre les éléments correspondants sont évidemment réciproques et, par conséquent, la transformation est involutive. Cette propriété la rapproche de l'inversion; Laguerre, qui l'a étudiée d'une manière détaillée, lui a donné, pour cette raison, le nom de transformation par directions réciproques (') que nous adopterons dans la suite. Mais la construction précédente donne lieu à une autre remarque essentielle; la transformation n'est pas univoque et elle fait, en général, correspondre à une surface (S) deux surfaces (S'), ou plutôt deux nappes différentes d'une même surface. En effet, si Ion considère une région de la surface (S) pour laquelle le sens de la normale soit- parfaitement défini, chaque point de cette région aura une représentation sphérique, complètement déterminée par le sens de la normale; et la construction indiquée plus haut fera connaître, sans ambiguïté, le plan tangent de la surface correspondante; mais cette construction donnera évidemment des éléments différents si l'on change le sens de la normale en tous les points de (2). C'est ce que démontrent, du reste, les formules suivantes, équivalentes aux relations (5).

Soient

ux -t- vy -+- wz -±- p = o,

les équations de deux plans correspondants ; désignons, pour abréger, par h et par h' les radicaux

± \/ll--h v--\- IV2, ± \J II'1

Si nous posons

u = i — cf. [3 ,

(l) Laguerre. Sur la transformation par directions réciproques (Comptes rendus, t. XCII, 1881, p. 71).

3o6 LIVRE II. — CHAP. VIII.

les formules (5) nous donneront

La présence du radical h montre bien qu'à un plan donné correspondent deux plans différents, qu'il sera impossible de séparer analytiquement tant que la variable h ne sera pas un carré parfait.

171. Puisque la transformation précédente conserve les lignes de courbure, elle fera correspondre nécessairement une sphère à une sphère. On vérifie cette proposition de la manière suivante.

L'équation tangentielle d'une sphère dont le rayon est R et dont le centre a pour coordonnées x, y, z est

(7) «a; + p/+(fs-i-/) = RA,

h ayant la signification déjà donnée; car cette équation exprime que la distance du centre au plan tangent est constante. Pour obtenir la surface correspondante, effectuons la substitution définie par les formules (6). Nous obtiendrons l'équation

" + "7+1 yzT/: (w —h)-h j-^-j ( w H- h ) I - -+- p

ou, en ordonnant et effaçant les accents^

-A-2 -2À-R \ , / ikz i + /f!

Vy

k*" I - IS-

■>,KZ I -t- A " V

Cette équation, de même forme que l'équation (7), représente une sphère dont le centre (x',y',z') et le rayon R' sont définis par les formules