HT

et, par conséquent,

x'i + y 2 + 3'2 R'2 = ,rS j j2 -H 32 R2.

IL suit de là qu'à une sphère (S) de la première figure, représentée par l'équation ponctuelle

X2 -4- Y2 -4- Z2 — 2xX — iyY — izZ -+- x--\- y--+- ^2 — R2 = o. correspond une sphère (S') de la seconde, ayant pour équation

X2 + Y2 + Z2 — 2:gX— ajY— ■2p(l + A2)^2/'R1Z + ^'+^2 + ~2— R2 = °-

On voit que les deux sphères (S) et (S') coupent le plan des xy, c'est-à-dire le plan (II) de la transformation, suivant un même cercle.

Appelons V, V les angles, définis par les formules

C0SV=-^-, C0sV'=-jt7J

ri K

que font les deux sphères avec le plan (II). Les formules (9) nous donnent entre ces angles la relation

i-i-eosV' /i-!-/:\2i — cosV

1 — cosV \i — k] i + cosV qu'on peut ramener à la forme simple

(10) tang-tang — = —— j.

2 Al — r- A.

Supposons que l'un des deux angles soit constant, il en sera de même de l'autre; de là résulte un moyen nouveau de délerminer la surface (S') qui correspond à une surface (S) :

On construira les sphères (S) tangentes à (S) et coupant le plan (II) sous un angle constant a.. Par V intersection de chaque sphère (S) et du plan (II), on fera passer une sphère (S') cou-

3o8 LIVRE II. — CHAP. VIII.

pant (II) sous un angle donné (3. L'enveloppe des sphères (S') donnera la surface (S') qui correspond à (S).

Une sphère de rayon nul doit être considérée comme coupant un plan ou une sphère quelconque sous un angle infini, La construction précédente contient donc Ja suivante comme cas particulier :

On construira les sphères (S) tangentes à (2) et coupant le plan (II) sous un angle constant a, ('). Les sphères de rayon nul passant par V intersection de chaque sphère (S) et du plan (II) décriront une surface (£') correspondant à (S) avec conservation des lignes de courbure.

Bien antérieurement aux études récentes sur les transformations qui conservent les lignes de courbure, et à une époque où l'on ne connaissait, parmi ces transformations, que l'inversion et la dilatation par laquelle on passe d'une surface à la surface parallèle, O. Bonnet avait fait connaître une transformation qui est comprise dans la précédente et qui correspond au cas particulier où l'angle a,, est droit (2).

Mais on peut, si l'on emploie les sphères, obtenir une construction géométrique encore plus simple de Ja transformation. Les formules (9) nous montrent, en effet, qu'une sphère coïncidera avec sa transformée toutes les fois qu'on aura

D'après cela, si V on considère toutes les sphères (S) tangentes à une surface (2) et coupant le plan (II) sous un angle con-

(') Pour obtenir l'angle a,, il suffit de faire, dans la formule (10), tang — =±i. On a ainsi

tang=±i__.

( 2 ) O. Bonnet, Note sur un, genre particulier de surfaces réciproques ( Comptes rendus, t. XLII, i856, p. 485 ) .

stant, de cosinus égal à p elles envelopperont, en même temps que (S), la surface (S') homologue de (S) dans la transformation considérée ( ' ).

172. La dernière proposition que nous venons d'énoncer permet de donner une définition géométrique simple de la transformation plus générale qu'on obtient si l'on soumet une figure et sa transformée à une même inversion. A toutes les sphères qui coupaient le plan (II) sous un angle constant, l'inversion fait, en effet, correspondre des sphères ou des plans coupant une sphère fixe (S) sous un angle égal et constant. Ainsi :

Si l'on construit toutes les sphères tangentes à une surface (A) et coupant une sphère fixe (S) sous un angle constant, elles envelopperont, en même temps que (A), une surface (A') qui correspondra à (A) avec conservation des lignes de courbure.

Si la sphère (S) se réduit à un plan (II), on retrouve la transformation par directions réciproques.

Il n'est pas inutile de démontrer la proposition précédente d'une manière tout à fait élémentaire. Nous examinerons en premier lieu le cas où l'angle constant est droit.

Considérons toutes les sphères (U), qui ont leur centre sur une surface (S) et qui coupent à angle droit une sphère (S) de rayon R. Le centre O de (S) ayant la puissance constante R2 par rapport à toutes les sphères (U), les axes radicaux de trois sphères quelconques (U), et, par suite, la corde de contact de chaque sphère avec son enveloppe, viendront passer par le point O. De là résulte la construction suivante de l'enveloppe :

Les deux points de contact de la sphère (U) de centre M avec son enveloppe se trouvent ci V intersection de cette sphère et de la perpendiculaire abaissée du centre O de (S) sur le plan tangent en M à la surface lieu des centres (2).

J) Si la constante À" est plus petite que l'unité, les sphères (S) ne coupent pas le in (II); mais le rapport -jj es qu'est tracée la figure g, p. 3i2.

plan (II); mais le rapport -jj est toujours constant. C'est dans cette hypothèse

3lO LIVRE II. — CHAP. VIII.

Soient u, a' ces deux points, placés symétriquement par rapport au plan tangent de (S). On aura évidemment

<yjiôj7= r2,

R désignant le rajon de (S); par conséquent, les deux nappes de l'enveloppe seront inverses l'une de l'autre par rapport au point O.

Moutard a donné le nom & analla gmatiques (') aux surfaces qui ne changent pas quand on les soumet à une inversion déterminée. Les deux nappes de l'enveloppe précédente constituent donc une surface qui est anallagmatique par rapport au pôle O, et, réciproquement, il serait aisé de le montrer, toute surface anallagmatique peut être obtenue par la génération précédente. D'ailleurs, comme les deux nappes de l'enveloppe sont inverses l'une de l'autre, les lignes de courbure tracées sur ces deux nappes se correspondent une à une.

Etudions maintenant le cas général où les sphères variables (U) coupent la sphère fixe (S) sous un angle constant qui n'est pas droit. Nous commencerons par établir le lemme suivant :

Si des sphères variables (U) coupent une sphère fixe (S) sous un angle constant, différent de zéro et de tc, on peut toujours, en ajoutant une constante à tous leurs rayons, les transformer en des sphères (U') qui coupent à angle droit une sphère fixe (S') concentrique à (S).

Soient, en effet, p et Ries rayons des sphères (U) et (S); d la distance de leurs centres; a l'angle constant sous lequel elles se coupent. On aura

d2 = pi+ R2— opRcosa, ou encore

d?-= (p — Rcosa)2-f-R2sin2a.

Par suite, si l'on ajoute la quantité constante — Rcosa au rayon p de (U), ce qui donnera une sphère concentrique (U7),

(*) Moutard, Note sur la transformation par rayons vecteurs réciproques {Nouvelles Annales de Mathématiques, i' série, t. III, 1864, p. 3o6).

Sur les sur/aces anallagmatiques du quatrième ordre (même Recueil, t. III, 1864, p. 536).

Lignes d". courbures d'une classe de surfaces du quatrième ordre ( Comptes rendus, t. LIX, 1864, p. 243).

cetle sphère (U') coupera à angle droit la sphère fixe (S') concentrique à (S) et de rayon R sina.

Ce lemme étant établi, si nous envisageons toutes les sphères (U) qui dépendent de deux paramètres et coupent (S) sous un angle donné, elles envelopperont une surface à deux nappes (A.), (A')^ Les sphères concentriques (L'), qui coupent à angle droit la sphère (S'), envelopperont une surface à deux nappes (B), (B') respectivement parallèles à (A), (A'); et, comme Jes lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes (B), (B'), qui sont inverses l'une de l'autre par rapport au centre commun des sphères fixes (S), (S'), il en sera de même en ce qui concerne les deux nappes (A) et (A'). La proposition que nous avions en vue se trouve ainsi établie dans toute sa généralité.

Soumettons maintenant la figure précédente à une inversion dont le pôle soit sur la sphère (S). Cette sphère se transformera en un plan (II); les deux nappes (A), (A') se transformeront en deux nappes (C), (C'), qui seront l'enveloppe commune d'une famille de sphères (U") transformées des sphères (U) et coupant, par conséquent, le plan (II) sous un angle constant. En d'autres termes, les nappes (C) et(C') se déduiront l'une de l'autre au moyen de la transformation par directions réciproques la plus générale. Or, on peut passer de (C) à (C') en effectuant les transformations suivantes : i° une inversion qui transforme (C) en (A); 2° une dilatation qui transforme (A) en (B); 3° une inversion qui transforme (B) en (B'); 4° une dilatation qui transforme (B') en (A'); 5° une inversion finale qui transforme (A') en (C). Ce résultat est conforme à une proposition générale de S. Lie (') d'après laquelle toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure se ramènent à des inversions et à des dilatations.

t1) Dans le Mémoire déjà cité, inséré au Tome V des Mathemalische Annalen, Lie a fait connaître toutes les transformations de contact qui conservent les lignes de courbure; il a même signalé (p. 186) le cas particulier de la transformation par directions réciproques; mais cette transformation avait été déjà donnée dans différents travaux de Ribaucour. Voir, en particulier, Ribaucour, Note sur la déformation des surfaces {Comptes rendus, t. LXX, 1870, p. 33a).

Sous une forme différente, elle a été l'objet des études de l'Auteur publiées dans les Notes V et IX du Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques, ï%-o.

Les transformations générales considérées par Lie dans son Mémoire peuvent