CI1.U\ VIII
173. Revenons aux résultais que nous avons obtenus relativement à deux sphères qui se correspondent dans la transformation par directions réciproques. Ils vont nous permettre de compléter les constructions précédentes et de faire connaître de nouvelles relations entre les éléments correspondants.
Considérons dans la première figure une surface (2) et prenons pour plan du tableau (fig. 9) le plan mené par un point quelconque M de cette surface perpendiculaire à la fois au plan (II) de
là transformation et au plan tangent en M à (2). Soit MC la trace de ce dernier plan ; si nous construisons Ja sphère (U) tangente en M à (2) et coupantle plan (II) sous un angle constant dont le cosinus
soit t' nous savons qu'elle enveloppe, en même temps que (2),
la surface (2') qui correspond à (2). Soit M' le point de contact avec (2') ; le plan langent en M' à (2') et le plan tangent en M à (2)
être définies d'une manière élégante si l'on emploie les six coordonnées de la sphère reliées par l'équation
et définies au n" 156. Il suffit, pour les obtenir, de faire correspondre à une sphère de coordonnées mi la nouvelle sphère dont les coordonnées m^ se déduisent des précédentes par une substitution linéaire orthogonale à coefficients constants.
devant couper le plan (II) suivant la même droite, le point M' sera dans le plan du tableau et on l'obtiendra en menant du point C, où la droite MC rencontre le plan (II), la seconde tangente au cercle suivant lequel la sphère (U) coupe le plan du tableau. Il suit de là que le cercle décrit du point C comme centre avec CM pour rayon passera par le point M' et coupera normalement les surfaces (S), (2') en M et en M'. Ainsi, si Von construit tous les cercles normaux à la fois à (2) et au plan (II), la surface (2') coupera tous ces cercles à angle droit.
D'ailleurs, comme les deux plans tangents CM, CM' se correspondent dans la transformation, on pourra leur appliquer la formule (10) établie pour deux sphères correspondantes quelconques et, si l'on désigne par V, V les angles de ces plans avec Je plan (II),
on aura
tang-tang — = j-^j-
Si Ton tient compte du sens des normales aux deux plans, on aura
V = MGS, V'=M'CS±t:
•et, par conséquent,
M' CS A- + i MCS
tans = - tan»
Cette équation, qui définit le point M' quand on connaît le point M, exprime que le rapport anharmonique formé sur le cercle
par les quatre points M', M, S, S' est constant et égal à j • On
•obtient donc le théorème suivant, qui est dû à Ribaucour et qui •est compris comme cas particulier dans une proposition générale :sur laquelle nous aurons à revenir :
Étant donnée une surface (2), on construit tous les cercles normaux à la fois à la surface et à un plan fixe (II). Ces cercles sont normaux à une famille de surfaces (2') qui sont •définies de la manière suivante : Pour chacune d'elles, le rapport anharmonique du point où elle coupe chaque cercle normal à (2) et des trois autres points où ce même cercle est ■coupé par (2) et par (II) est un nombre constant. Les surfaces
(S7) sont celles qui dérivent de (S) dans les différentes transformations par directions réciproques qui admettent le même plan (II).
On peut signaler encore d'autres relations géométriques. Si, du centre P de la sphère qui enveloppe à la fois (£) et (S') on abaisse une perpendiculaire PR sur le plan (II), elle coupe le cercle en un point Q qui décrit une surface normale au cercle, comme il est aisé de le démontrer. En effet, la tangente en Q et la ligne MMf coupant l'axe SS' en un même point H, on a, en vertu d'une proposition de Géométrie élémentaire,
. QGS M CS M' CS tans;2 = tançr tansr
ou, en tenant compte de la formule donnée plus haut,
ocs /F+T Mes
tan» = i / i tan<r
Le rapport anharmonique des points Q, M, S, S' étant constant en vertu même de cette équation, la surface décrite par le point Q est bien normale au cercle en ce point, et elle correspond à (S) avec conservation des lignes de courbure. On a d'ailleurs
MP2 = PQ xPQ'=PÏÏ2— RQ2ou, en remarquant que MP, PR sont liés par l'équation (i i),
RQ= PRy/i — A*;
on obtiendra donc la surface lieu du point Q en réduisant dans le rapport de \J i — k - à i les ordonnées perpendiculaires au plan (II) de la surface lieu du point P. De là le théorème suivant :
Si Von considère toutes les sphères (U) dont les centres décrivent une surface (S) et qui coupent un plan (II) sous un
angle constant, de cosinus égal à j, elles enveloppent une surface à deux nappes (2), (S') dont les lignes de courbure correspondent point par point à celles de la surface (S') obtenue en
APPLICATIONS DIVERSES. 3l5
réduisant, dans le rapport de d i — k- à i, les ordonnées perpendiculaires au plan (II) des différents points de (S).
Si, par exemple, la surface (S) est du second degré, ce théorème permettra de déterminer immédiatement les lignes de courbure des deux nappes (S), (^;); elles correspondront, en effet, aux lignes de courbure de la surface (S') qui sera ici du second degré.
174. Nous allons maintenant chercher ce que deviennent les formules relatives à la transformation par rayons vecteurs réciproques, quand on emploie le système de coordonnées (a, (3, ç).
Soient
x y z x--\- JK2H- -32
les formules de la transformation. Au plan
(12) «X + pY + wZ+jO = o
correspondra la sphère
ux -+- vy-h w-z-t- ^(.r2 + jK2-+--2) = o.
Nous pouvons obtenir l'équation tangentielle de cette sphère, c'est-à-dire la condition pour que le plan
lui soit tangent; l'application des méthodes élémentaires nous conduit à l'équation cherchée
zpp
-T- UU! '-+- w' -+- WW' '± \/ II1 -v P2-|- W% dit''2 -T- V'1 -r- W- = O.
Introduisons les coordonnées ç, a, j3 à la place de u, t>, w, /? et ç', a', |j' à la place de u', v' , w', p' . L'équation précédente prendra la forme
. -jg-H-aap + ao'P'— (a + p)(a'+P')±(a — P)(a'— <p') = o.
En prenant successivement le signe + et le signe — , nous aurons les deux équations
3l6 LIVRE II. — CHAP. VIII.
OU
(i4) ^' = -^(p a')Ca p')s
qui réalisent, en quelque sorte, le dédoublement de l'inversion. Ces formules se ramènent l'une à l'autre quand on échange a et p; et cet échange ne modifie en rien l'équation d'un plan dans le système (a, fi, £); nous pourrons donc nous borner à considérer une seule des deux équations. Nous choisissons la formule (i3).
Quand le plan défini par l'équation (12) enveloppe une surface (S), £ est une fonction donnée de a et de fi, et la sphère définie par l'équation (10) en a', fi', %' enveloppe la surface (£') correspondant à (S). Pour avoir le point ou, plutôt, le plan de contact de cette sphère avec son enveloppe, il faut appliquer les principes généraux de la théorie des enveloppes et joindre à l'équation (i3) ses deux dérivées par rapport à a et à [3, £ étant considérée comme une fonction de a et de fi. En appelant p et q les dérivées premières de ç, on trouve ainsi le système
/ gê' = — *»C« — «OCP — P'>-
qui détermine a', fi', !•' en fonction de a et de fi.
Si l'on différentie maintenant la première équation (i5), en tenant compte des deux autres, on trouve
\ d% = /,-2((3 — P') da'-h À-2(oc — a') dp.
On aura donc, en désignant par p' , ^' les dérivées de £' par rapport à a', j3',
06) Êy=#(p-P'), Êy' = *»(«-«').
Les formules (i5), (16) définissent toutes les relations entre les éléments correspondants des deux surfaces. Elles fournissent le Tableau suivant :
pq
d'où l'on déduit, par un calcul facile,
dp' dz' — dq' d$' = (dp d% — dq d°>).
Cette équation établit de nouveau que l'inversion conserve les lignes de courbure.
11 importe d'établir nettement ce qui distingue, au point de vue géométrique, la formule (i3) de la formule (i4)- Quand on échange a et (3, l'équation du plan tangent ne change pas et, par conséquent, on a toujours la même surface; mais le sens positif de chaque normale est évidemment changé. Cela résulte des expressions
i — ccB , . n- aB ,, a -+- B
c=: n» c = l ET» c = P
des cosinus directeurs de la normale. Par conséquent, les formules (io) ou (14)5 cllli se déduisent l'une de l'autre par l'échange de a et de fi, font bien correspondre à une surface (S) la même surface (S'); mais à un sens déterminé d'une normale à la surface (S) correspondront des sens opposés de la normale à la surface (S')r suivant qu'on adoptera la formule (i3), ou la formule (i4)- Pour caractériser au point de vue géométrique chacune de ces formules, il suffira donc de donner la relation entre les sens positifs des deux normales, qui correspond, par exemple, à la formule (i3). Pour cela, considérons deux surfaces homologues (S), (S'), et deux points correspondants M, M7 sur ces deux surfaces. A un point de (2) décrivant une courbe infiniment petite autour de M dans un sens déterminé, correspondra un point de (S') tournant également dans un sens déterminé autour de M'; attribuons aux deux normales un sens tel que les deux courbes paraissent être parcourues en sens contraire autour de leurs normales respectives; on aura ainsi la correspondance entre le sens des normales qui est définie par la formule (i3) et par celles que nous en avons déduites.
Pour le démontrer, il suffit de considérer la sphère (S) de rayon R ayant pour centre l'origine des coordonnées et dont l'équation est
