CHAPITRE I

L'équation aux dérivées partielles de Lagrange. — Mémoire de Meusnier sur la courbure des surfaces. — Premières recherches de Monge. — Méthode rigoureuse de Legendre. — Détermination de quelques surfaces minima nouvelles par Scherk. — La surface minima réglée, le théorème de Catalan. — Recherches générales sur la théorie, par O. Bonnet, Catalan et Bjôrling.

175. Avant de continuer l'exposition des théories générales, nous allons faire une application étendue des méthodes et des résultats développés dans les deux Livres précédents. Nous avons choisi les surfaces minima dont l'étude présente un intérêt véritablement exceptionnel; car elle touche à la fois au Calcul des variations, à la Physique mathématique et à la Théorie moderne des fonctions.

Dans le célèbre Mémoire intitulé : Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, qui est inséré dans le Tome II des Miscellanea Taurinensia, années i-ôo-i-jôi ('), et qui contient les principes de son Calcul des variations, Lagrange, après avoir généralisé les résultats obtenus par Euler relativement aux intégrales simples, se propose de montrer, dans l'Appendice I, que sa méthode s'applique aussi aux intégrales doubles, et il choisit comme exemple celle qui exprime l'aire d'une portion de surface rapportée à des coordonnées rectangulaires

/ / dx dy s/ ' \ -)-/>2 -+- q-.

(') Voir aussi Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335.

Il trouve ainsi que la surface minima passant par un contour donné doit satisfaire à l'équation

« Le problème se réduit donc, dit-il, à chercher/? et q par ces conditions que

. , p dy — q dx

p dx -+- q dy et ■

soient des différentielles exactes.

» Il est d'abord clair qu'on satisfera à ces conditions, en faisant p et q constantes, ce qui donnera un plan quelconque pour la surface cherchée; mais ce ne sera là qu'un cas particulier, car la solution générale doit être telle que le périmètre de la surface puisse être choisi à volonté. »

Lagrange se contente des remarques précédentes; car le but unique de son admirable Mémoire était la formation des équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les courbes et les surfaces qui donnent la solution des problèmes posés; et il termine l'Appendice consacré aux intégrales doubles en donnant l'équation aux dérivées partielles de la surface dont l'aire est minimum parmi celles qui circonscrivent des solides égaux.

La théorie si simple et si féconde que Lagrange avait substituée aux méthodes d'Euler ne fut pas immédiatement acceptée par tous les géomètres. En 1767, Borda fit imprimer, dans les Mémoires de V Académie des Sciences, un travail intitulé : Eclaircissement sur les méthodes de trouver les courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou de minimum, et il crut faire une œuvre utile en démontrant par une voie nouvelle, et sans rien lui ajouter, le résultat de Lagrange.

176. C'est dans un beau Mémoire de Meusnier (') qu'est commencée, et de la manière la plus heureuse, l'étude de l'équation

(') Mémoire sur la courbure des surfaces, par M. Meusnier, Lieutenant en premier, surnuméraire au corps royal du Génie, Correspondant de l'Académie, lu les i4 et 21 février 1776 (Mémoires des Savants étrangers, t. X, 1875, p. 477)-

aux dérivées partielles de Lagrange. Ce travail conlienl une théorie nouvelle de la courbure qui, à tous égards, aurait mérité d'être conservée à côté de celle d'Euler; Meusnier, après avoir rappelé qu'Euler avait publié en 1761, dans le Recueil de l'Académie de Berlin, le Mémoire qui contient les propositions devenues classiques sur la courbure des sections normales faites en un point donné d'une surface, ajoute que « Ion peut présenter la question sous un autre point de vue en la faisant dépendre d'une propriété intéressante, savoir, qu'il existe une génération qui convient à tout élément de surface )>.

La génération dont veut parler Meusnier, et qu'il développe avec précision dans le cours de son travail, est la suivante : on peut, en négligeant seulement les infiniment petits du troisième ordre, considérer tout élément de surface dans le voisinage d'un point donné, comme engendré par Ja rotation infiniment petite d'un petit arc de cercle autour d'un axe situé dans son plan et parallèle au plan langent de cet élément. Il nous est aisé, aujourd'hui, de retrouver les propositions de Meusnier et de nous rendre compte de sa méthode. Si, en effet, on considère {fig- 10) un point quelconque M

Fie. m.

de la surface et les centres de courbure principaux C, C relatifs à ce point, toute surface aura en M un contact du second ordre avec la proposée si elle admet en M les mêmes directions principales Ma?, Mjk, et si, de plus, elle a les mêmes centres principaux correspondant aux deux directions principales. Si donc on veut obtenir un tore ayant un contact du second ordre avec la surface donnée, ce tore devra admettre, comme cercle générateur, soit le cercle principal de centre C et de rayon CM décrit dans le D. — I. 21

plan CMx, soit le cercle de centre C et de rayon CM décrit dans le plan C'My. De plus, si l'on considère, par exemple, le premier cercle décrit dans le plan CM.r, le second centre de courbure principal devra se trouver sur l'axe du lore. Cet axe sera donc assujetti à la double condition de passer par le point C et de se trouver dans le plan CMa\ En raisonnant de même pour le second centre de courbure, on reconnaît qu'il y aura deux séries de tores osculateurs en M; tous les tores d'une même série auront- un même cercle générateur, décrit dans l'un des plans principaux ayant pour centre le centre de courbure relatif à ce plan; leurs axes, tous nécessairement situés dans ce plan, passeront par l'autre centre de courbure. Le mode de génération considéré par Meusnier revient à substituer à la surface, dans le voisinage du point M, le tore osculateur particulier dont l'axe est parallèle au plan tangent; les axes des deux tores qu'il obtient ainsi sont les droites D et A que Mannheim a retrouvées et introduites avec succès dans la théorie de la courbure des surfaces. On s'explique aussi, par les remarques précédentes, comment Meusnier, en partant d'un point de vue tout à fait différent de celui d'Euler, est conduit néanmoins à considérer les mêmes éléments géométriques.

Comme application de sa méthode générale, Meusnier détermine d'une manière très exacte la surface dont tous les points sont des ombilics et il cherche à établir par la Géométrie l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima. Par des raisonnements, qui sont à la vérité peu satisfaisants, il est conduit à cette condition, que la somme des rayons de courbure principaux doit être nulle en chaque point de la surface. C'est donc dans le Mémoire de Meusnier qu'apparaît pour la première fois l'interprétation géométrique de l'équation de Lagrange.

Pour trouver des surfaces satisfaisant à cette équation

(i) (i + 5-2)r — 2pqs-\-(i + p*-)'t = o,

Meusnier remarque que, d'après un résultat déjà donné par Monge, l'équation

(2) cf-r — ipqs -+- p'2t = o

est celle des surfaces engendrées par une droite parallèle au plan

des xy. En l'adjoignant à l'équation (i), ce qui donne

(3) r-ht = o,

on aura, s'il en existe, les surfaces minima engendrées par une droite parallèle à un plan. L'intégration simultanée des équations (2) et (3) conduit ainsi l'auteur à l'hélicoïde gauche à plan directeur.

Enfin, Meusnier détermine la surface minima de révolution, et il démontre qu'elle est engendrée par la rotation d'une chaînette autour de sa base. On voit que son travail a fait connaître, en même temps que l'interprétation géométrique de l'équation de Lagrange, deux surfaces minima, qui sont, aujourd'hui encore, au nombre des plus intéressantes et des plus simples. La méthode par laquelle est obtenu l'hélicoïde est féconde et a été souvent appliquée à la recherche de solutions particulières des équations auh. dérivées partielles*

177. C'est dans son Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles {Mémoires de V Académie Royale des Sciences pour 1784, p- 118) que Monge s'est occupé pour la première fois des surfaces minima et de l'intégration de 17-quation aux dérivées partielles de Lagrange. Monge commence par intégrer exactement l'équation différentielle des caractéristiques, ce qui est le point essentiel; mais il commet ensuite quelques erreurs de raisonnement qui le conduisent à présenter la solution sous une forme inacceptable; car les coordonnées rectangulaires x,y, z sont exprimées en fonction de deux paramètres a, a par des quadratures de la forme

f(Mda-i-Nda'),

où M, N sont des fonctions de a et de a! ne satisfaisant pas à la condition d'intégrabilité.

Les erreurs commises par Monge pouvaient être facilement corrigées; et, en effet, dans un beau Mémoire sur V intégration de quelques équations aux dérivées partielles [Mémoires de V Académie royale des Sciences pour 1787, p. 3og), Legendre après avoir signalé les objections qu'on doit adresser à la méthode primi-

tive de Monge, ajoute ces quelques mots : Depuis, « ses recherches l'ont conduit à la vraie intégrale, qu'il a bien voulu me communiquer avec le procédé qu'il avait suivi; mais ce procédé tenant à quelques principes métaphysiques dont les géomètres ne conviennent pas encore, j'ai é(é curieux de chercher la même intégrale par la voie ordinaire, et j'y ai été engagé par M. Monge lui-même. On verra que j'y suis parvenu fort simplement par un changement de variables qui peut être utile dans d'autres occasions et que j'appliquerai même à des équations plus générales )>.

Les « principes métaphysiques » dont il est question dans ce passage sont sans doute les idées de Monge sur la génération des surfaces par la méthode des enveloppes, idées qu'il a développées d'une manière systématique dans Y Application de V Analyse à la Géométrie. Nous avons peine aujourd'hui à les comprendre, sinon dans leur esprit, au moins dans leur enchaînement et dans leurs détails. Il ne faut donc pas s'étonner que le procédé nouveau de Monge, qui coïncide sans doute avec celui qu'il a fait connaître plus tard dans son Ouvrage, ait donné naissance à de sérieuses objections ( ').

178. La méthode de Legendre est élégante et irréprochable. Elle consiste à remplacer les variables x, y, z par p, g et

v — px -+- qy — z,

en considérant v comme une fonction de p et de q; ce qui revient, suivant une remarque de Chasles, à substituer à la surface sa polaire réciproque par rapport au paraboloïde ayant pour équation

as = x2-\- y2.

Legendre effectue la transformation de variables d'une manière très élégante. 11 substitue aux deux expressions de Lagrange

q dx — p dy

p dx -+- q dy,

(:) Si nous nous reportons à une indication donnée en i832 par Poisson dans une Note très courte que nous citons plus loin (n° 180), ces objections auraient été formulées par Laplace et auraient donné naissance à de longues discussions entre les deux grands géomètres.

qui doivent être des différentielles exactes, les suivantes :

x dp -+- y dq = dv,

n J \-rd

Y '\ •+- p- '■■+- q'1 j \y/n- q2-hp2

et tout se réduit à écrire que l'expression

dvdf ? -\-dJLd(

est une différentielle exacte. On a ainsi l'équation linéaire

«> {l+P^ôpJi^"Pqàp-Tq+{l + q)^=^

qui, jointe aux suivantes,

. dv dv dv dv

dp J dq r dp 2 dq

suffit à déterminer complètement la surface.

L'équation (4) est de celles qu'il est possible d'intégrer par l'application des méthodes régulières; on peut obtenir les équations en ternies finis des caractéristiques et appliquer ensuite la méthode de Laplace. Mais Legendre abrège beaucoup les calculs en formant l'équation

d»6 d«8 , d'-iï d6 dO

à laquelle satisfont a?, y, z considérées comme fonctions de p et deq; on pourra lire l'exposition complète de cette méthode dans le grand Traité de Calcul différentiel et intégral de Lacroix (2e édition, t. II, p. 6a5).

Nous devons remarquer que Legendre, après avoir donné les formules dont il devait la connaissance à Monge, fait connaître de nouvelles formules entièrement débarrassées de tout signe d'intégration, et qui auraient pu servir de base à une étude fructueuse des surfaces minima (voir plus loin Chapitre II).

179. La méthode d'intégration donnée par Monge dans V Application de V Analyse à la Géométrie n'est pas la seule que nous

3a6 LIVRE III. — CHAP. I.

lai devions; le Traité de Lacroix en contient une autre qui repose sur une idée très ingénieuse et très féconde : elle consiste à transformer une équation aux dérivées partielles en considérant les trois coordonnées x1 y, z comme des fonctions de deux paramètres a et b. L'équation des surfaces minima prend ainsi la forme

(6) \(¥)'+(¥)\(âJ.)'](xd£ + Y?£ + z%±

\\da / \da) \da J \\ db'2- db* db*

dx dx dy dy dz àz\ /„ d^x ,r à- y „ d2 z 1 ' X --t- Y- — ^- -4- Z

da âb da db da db I \ àa db da ob da àb

m*Hïï+m(^-^

da-

X, Y, Z étant les cosinus directeurs de la normale déterminés par

les équations

( dx dy dz

1 da da da

J dx dy dz

et Monge remarque qu'on peut y satisfaire en prenant

/ /dx\* , /^y (d±

\ \da ) ~^ \da ) \àa

(9) àaàb = dâàb = dâ~àb = °'

ce qui donne

a-=A1+B1, / = A,+ B2, z = A3-hB3,

A,, A2, A3 étant des fonctions de a et B1? B2, B3 des fonctions de b, assujetties à vérifier les conditions

( rfAf -+■ dA.1 -+- dA.% = o, dB\ + dKl-+-dm = o.

Mais il est clair que cette méthode si élégante est encore sujette à des objections; car, si l'on prend pour a et b les paramètres des lignes de longueur nulle, l'équation (6) donne simplement

x a~ât ■+■ Y rfr + z :r~^7 = °>

da db da db àa db

et non les trois équations (9),

180. La méthode de Legendre et celle qu'Ampère a donnée en 1820 dans le XVIIIe Cahier du Journal de V Ecole Polytechnique ont été pendant longtemps les seules conduisant sans objection possible à l'intégrale dont la découverte constitue un des plus beaux titres de Monge à notre admiration.

Si on laisse de côté certaines surfaces imaginaires trouvées par Poisson (M, on n'a connu, depuis 1776 jusqu'en i83o, que les deux surfaces minima obtenues en premier lieu par Meusnier. Pendant longtemps, on n'a fait aucun usage de l'intégrale de Monge et, dans un article de deux pages qui n'était pas de nature à encourager les géomètres (2), Poisson déclarait en i832 que « malheureusement on ne saurait tirer aucun parti de cette intégrale qui se trouve compliquée de quantités imaginaires et exprimée par le système de trois équations entre deux variables auxiliaires et les coordonnées courantes de la surface ».

Deux ans après, en 1 834, paraissait dans le Journal de Crelle un travail de Scherk (3) qui ajoutait des résultats importants à la théorie des surfaces minima et contenait les premiers exemples de surfaces minima déduites de l'intégrale de Monge et de Legendre.

L'auteur rentre d'abord dans la voie ouverte par Meusnier; il décompose l'équation aux dérivées partielles de Lagrange en deux autres qui auront des solutions communes. C'est ainsi, par exemple, qu'en supposant

il est conduit à la surface définie par l'équation

. . cosaa?

cosajK

(*) Poisson, Remarques sur une classe particulière d'équations aux différences partielles à trois variables {Correspondance de l'Ecole Polytechnique,

(-) Poisson, Note sur la surface dont l'aire est un minimum entre des limites données (Journal de Crelle, t. VIII, i832, p. 36i).

( 3) H. F. Scherk, Bemerkungen iïber die kleinste Flàche innerhalb gegebener Grenzen (Journal de Crelle, t. XIII, p. i85). Ce travail est la suite et le complément d'un Mémoire couronné par la Société des Sciences de Leipzig et inséré dans le Tome IV des Acta Societatis Jablonovianœ, p. 204-280.

En prenant les coordonnées semi-polaires s, p, 6 et en supposant

il obtient tons les hélicoïdes qui sont des surfaces minima; ils sont déterminés par l'équation

(12) z = b ]og[v/p--+- a2-f- \/p2 — 62] + a arc tang ■—

sH^¥-

où a, 6, c sont trois constantes quelconques ('), et ils comprennent comme cas particuliers à la fois la caténoïde et l'hélicoïde à plan directeur, qui correspondent respectivement aux hypothèses a = o et b = o. L'auteur montre quelles valeurs on devra attribuer aux fonctions arbitraires qui entrent dans les formules de Monge pour retrouver les surfaces précédentes. Mais de plus, et c'est là l'un des principaux mérites de son travail, il déduit par Tunique emploi de ces formules des surfaces nouvelles, assez compliquées, mais réelles. A la fin de son étude, il se propose, mais sans y réussir complètement, de déterminer toutes les surfaces minima engendrées par le mouvement d'une ligne droite. Cette question a été résolue pour la première fois par Catalan (2) qui a prouvé que la seule surface minima réelle engendrée par le mouvement

(') En appliquant les méthodes du n° 73 à ces hélicoïdes, on trouve que leur élément linéaire a pour expression

ds1 = du? ■+- ( u- -f- a2 -t- b'2 ) c?8'2.

Tous ceux pour lesquels la somme a2-hb'i est la mè.me sont donc applicables les uns sur les autres.

(2) Catalan, Sur les surfaces réglées dont l'aire est un minimum (Journal de Liouville, ire série, t. \'II, 1842, p. 2o3). — Voir aussi J.-A. Serret, Note sur la sur/ace réglée dont les rayons de courbure principaux sont égaux et dirigés en sens contraire (Journal de Liouville, t. XI, 1846, p. 45 1 ).

Nous donnerons plus loin deux démonstrations de la proposition de Catalan. Mais nous pouvons, dès à présent, remarquer qu'elle est implicitement contenue dans les résultats donnés au Livre I, Chapitre I. Nous allons voir que toute surface minima est caractérisée par cette propriété d'avoir, en chaque point, ses tangentes asymptotiques rectangulaires. Si donc elle est réglée, une première famille de lignes asymptotiques étant formée par les génératrices- rectilignes, la seconde famille le sera des trajectoires orthogonales de ces génératrices. Par suite, toutes ces trajectoires orthogonales admettront chacune les génératrices rectilignes comme normales principales. Elles seront donc, d'après les résultats donnés au

d'une ligne droite est l'hélicoïde à plan directeur. On peut la rattacher d'ailleurs à une proposition plus générale, obtenue ultérieurement par Beltrami et M. Dini ('), et d'après laquelle les seules surfaces réglées pour lesquelles il existe une relation entre les deux rayons de courbure sont des hélieoïdes.

181. Nous laisserons de côté différentes recherches que nous aurons l'occasion de signaler au cours de cette étude et nous passerons immédiatement aux travaux d'Ossian Bonnet qui ont été publiés à partir de 1 853 dans quatre Notes insérées aux Comptes rendus (2) et développés d'une manière complète dans le Mémoire sur remploi d'un nouveau système de variables dans l'étude des propriétés des surfaces courbes, déjà rappelé plus haut {nu 163). Ces recherches, où l'éminent géomètre emploie les variables que nous avons déjà indiquées, ont réalisé, on peut le dire, un progrès décisif dans l'étude des surfaces minima. Elles ont donné l'équation intégrale sous une forme qui a permis d'obtenir toutes les surfaces réelles et un nombre illimité de surfaces algébriques; elles ont fait connaître surtout un grand nombre de propriétés géométriques communes à toutes ces surfaces; elles ont enfin fourni la solution complète du problème suivant, qui est fondamental : Déterminer la surface minima passant par une courbe quelconque et admettant en chaque point de cette courbe un plan tangent donné. Nous compléterons d'ailleurs, dans notre exposition, ces indications rapides.

n° 11, des hélices tracées sur un cylindre circulaire droit, et la surface minima sera l'hélicoïde à plan directeur.

Cette démonstration ne s'appliquerait pas si les génératrices rectilignes allaient rencontrer le cercle imaginaire de l'infini. La surface se réduit alors à un cylindre imaginaire assujetti à l'unique condition d'avoir pour génératrices rectilignes des droites de longueur nulle.

(*) Beltrami, Bisoluzione di un problema relativo alla teoria délie super- Jici gobbe {Annales de Tortolini, t. VII, 1 865, p. io5).

Dini (U.), Sicile superficie gobbe nelle quali uno dei due raggi di curvatura principale è una funzione dell' altro (même Volume, p. 2o5).

(2) O. Bonnet, Note sur la théorie générale des surfaces (Comptes rendus, t. XXXVII, i853, p. 5^9); Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans l'équation intégrale des surfaces minima ( Comptes rendus, t. XL, i855, p. 1107); Observations sur les surfaces minima (Comptes rendus, t. XLI, i855, p. 1067); Nouvelles remarques sur les suif aces à aire minima {Comj)tes rendus, t. XLII, i856, p. 532).

La méthode de Bonnet est directe et indépendante de l'intégrale de Monge. Dans un travail (' ) publié par extraits clans les Comptes rendus en 1 855, Catalan a fait connaître différentes transformations de cette intégrale et de l'équation aux dérivées partielles, qui l'ont conduit, en particulier, à un système de formules entièrement débarrassées d'imaginaires. Il a aussi indiqué les moyens d'obtenir un nombre illimité de surfaces algébriques.

182. Dans ses travaux, S. Lie a appelé l'attention des géomètres sur des recherches qui, malgré l'intérêt qu'elles présentent, étaient restées ignorées. En i844> E. G. Bjorling, professeur à l'Université d'Upsal, a inséré dans les Archives de Grunert (t. IV, p. 290) lin Mémoire de vingt-cinq pages intitulé : In Integrationem œquatlonls derivatarum partialium superficiel cuj'us m puncto unoquoque principales ambo radll curvedinis œquales sunt slgnoque contrario. Ce travail mérite une analyse détaillée. L'auteur y reprend d'abord la méthode de Legendre ; mais, en choisissant des variables nouvelles, il est conduit à l'équation

d- to 1 y. dio 1 B dm

dxdS a*— (3* da ce2— (4* d3

qui est plus élégante que celle de Legendre et qu'il intègre par l'application régulière de la méthode de Laplace. Il obtient ensuite des expressions très simples des coordonnées x, y, z en fonction des deux variables a et (3, et de deux fonctions arbitraires. Puis il indique comment on détermine ces fonctions arbitraires de telle manière que la surface passe par une courbe donnée et y admette en chaque point un plan tangent donné. La solution de ce dernier problème, que Bjorling a eu le mérite de poser et de résoudre le premier, sans en apprécier peut-être toute l'importance, est ramenée dans son Mémoire à la détermination d'une fonction dont la dérivée troisième est connue.

Bjorling examine ensuite quelques autres problèmes qu'on peut

(') Une rédaction développée des recherches de Catalan a paru en iS58 dans le XXXVIIe Cahier du Journal de l'École Polytechnique sous le titre suivant : Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbure en chaque point sont égaux et de signes contraires.

RESUME HISTORIQUE. Oui

rattacher au précédent, par exemple le suivant : Déterminer la surface minima qui coupe une surface donnée suivant une courbe telle qu'en chacun de ses points, p et q soient des fonctions, données à t'avance, de x, y, z.

Le reste du Mémoire ne contient rien de nouveau.

183. Les importantes recherches de Weierstrass, publiées, en 1866 ('), reposent sur l'emploi des formules de Monge, mises sous une forme qui est extrêmement élégante, et qui paraît la plus commode dans les applications. Weierstrass a résolu, le premier, plusieurs questions essentielles : il a, en particulier, donné le moyen de trouver toutes les surfaces minima réelles et algébriques. Ses formules établissent de la manière la plus claire le lien qui existe entre la théorie des fonctions d'une variable imaginaire et celle des surfaces minima, puisqu'elles montrent qu'à toute fonction de l'argument imaginaire correspond une surface minima réelle. Mais, comme nous ferons connaître les recherches de cet illustre géomètre, ainsi que les principaux travaux publiés depuis 1867, nous arrêterons ici cet exposé historique, en signalant toutefois un Mémoire de Beltrami Sulle proprie ta generali délie superficie cVarea minima, inséré en 1868 dans le Tome VII des Mémoires de V Académie des Sciences de Bologne (2e série). Ce beau Mémoire, sur lequel nous aurons à revenir, contient une Notice historique très étendue qui nous a permis, du moins nous l'espérons, de n'oublier aucun résultat important publié sur notre sujet avant 1860. On consultera aussi avec le plus grand profit Je Mémoire de M. Schwarz intitulé Miscellen aus dent Gebiete der Minimalflâchen, inséré au Tome LXXX du Journal de Crelle (p. 280; i875>(«).

( * ) Weierstrass, Ueber die Flâchen cleren mittlere Krûmmung ûberall gleick Null ist (Monatsberichte der Berliner Akademie, 1866, p. 612, 855); Ueber eine besondere Gattung von Minimalflâchen (même Recueil, 1867, p. 5n).

(2) Voir aussi H. A. Schwarz, Gesammelte mathematische Abbhandlungen, t. I, p. 168.