CHAPITRE Iï

Première condition à laquelle doit satisfaire la surface minima passant par un contour donné. — Pour que l'aire de cette surface soit plus petite que celle de toutes les autres surfaces infiniment voisines limitées au même contour, il faut que la somme des rayons de courbure soit égale à zéro. — On peut interpréter géométriquement cette propriété de la manière suivante: les deux familles de lignes de longueur nulle tracées sur la surface doivent former un réseau conjugué. — On déduit aisément de là que les surfaces minima sont des surfaces de translation, engendrées de deux manières différentes par la translation d'une ligne de longueur nulle. — Formules de Monge et de Legendre débarrassées de tout signe d'intégration. — Formules plus simples et plus élégantes d'Enneper et de Weierstrass. — Détermination de toutes les surfaces minima algébriques.

— Détermination de toutes les surfaces minima réelles. — Relation établie par Weierstrass entre les surfaces minima et les fonctions d'une variable complexe.

— A toute fonction de la variable complexe on peut faire correspondre une surface minima. Au contraire, à toute surface minima correspondent deux fonctions de la variable complexe, qui sont différentes en général.

184k Considérons une surface quelconque, ou plutôt une portion continue de surface (S) limitée par un contour, et proposons-nous de trouver la varialion de l'aire quand on passe à une surface infiniment voisine. Soient x, y, z les coordonnées d'un point de (2) ; c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en ce point. Nous prendrons pour coordonnées curvilignes u ei v les paramètres des lignes de courbure de la surface. Alors, si l'on désigne par R, R' les deux, rayons de courbure au point considéré, les formules d'Olinde Rodrigues nous donneront

dx de dy ^ de' dz , de"

1 ^n- =o, -f~ -+- R -r- ■ = o, - hR- = o,

du du du du du du

dx ^.àc dy n,àc' àz ^,dc"

dv di> dv dv àv dç

On a, d'ailleurs,

de de de' de' de" du dv du dv du

de"

àx dx dy dv dz

du dv ' du dv ' du

dv Z°'

Nous poserons, pour abréger,

\du 1 \ du) ~^ \ du g ~ \dv) ~h \~diï ) 'h \~dv

dx \2 /ày\2 fàzs-

\ dv j \ dv ) \ dv

on aura évidemment

et l'on obtiendra pour l'élément linéaire de la surface (S) l'expression

(4) ds*~ = R2erf«2-f-R'V^2= Edu2-f-G<:/e2.

Gela posé, considérons une surface (S') infiniment voisine de (S); la normale en un point M de (S) rencontre (2') en un point M'. Désignons par X la distance MM' ; la surface (S') sera, évidemment, définie si l'on donne X en fonction de a et de v\ alors les coordonnées X, Y, Z d'un point de (S-') seront déterminées par les formules

X = x -+- cX, Y = y -+- c' ) , Z = s h- c" X,

qui donnent

lie de

dX = (\~R)~ du + (\ — R')-r dv^-cdl, du dv

J dX = (X — R)— r/«-+-(X — R') — dv + c'dl,

J v 'du v ' dv '

dZ = (X R)-iLrfM-+-(X — R')— dv^c"dl.

ou dv

On en déduit, pour l'élément linéaire de (2'), l'expression (6) <fs'2= (X— Ry-ediû-hd—R'yg-dv^^-dA0-,

et, pour l'élément superficiel de cette surface,

d$ = i/ÏÏG i

185. Supposons maintenant que l'on considère une portion de (2) limitée par un contour (G) et que l'on veuille comparer l'aire de cette portion à celle d'une surface infiniment voisine (S') passant par le même contour. Alors )> devra être une fonction infiniment petite s'annulant en tous les points de (C). L'aire de (S') sera représentée par l'intégrale double ■

wrfW-M-i

e(k—R)* ' iO — R')2

du dv

étendue à toutes les valeurs de u, v qui correspondent aux points de (S) situés à l'intérieur de (C); et cette aire, développée suivant les puissances de la quantité infiniment petite qui entre en facteur dans ~k, pourra s'écrire

= / fy/ËG du dv— Ç f/ËG \ ( ■