V-\ vj

const..

reliant deux solutions particulières quelconques Le svstème (20) se réduira alors au suivant.

d\x dt d, dt

= b u -f- a v , = — eu. — b v

19. Appliquons ces propositions générales à notre problème particulier. Toutes les fois que l'on connaîtra une solution du système (1) pour laquelle la somme a2 + [i2 -+- y2 sera différente de zéro, on pourra réduire cette somme à l'unité, et les formules (8) nous donneront deux solutions particulières de l'équation en 7.

Désignons ces deux solutions par a-', — — • Si a, [3, y, p, q^ y sont

réelles, a-', a-'0 seront des imaginaires conjuguées l'une de l'autre. L'application de la formule (16) nous conduira, après quelques transformations faciles, à la formule

C désignant la constante arbitraire.

La quadrature qui figure dans ces formules porte sur une fonc-

lion réelle toutes les fois que p, y, /\ a, (3, y sont réels; car alors a-7, rj'0 sont des imaginaires conjuguées el la fonction sous le signe /

dans les formules précédentes est de la forme i®, 0 étant réelle.

Au reste, dans ce cas particulier où tout est réel, il suffirait de connaître une seule solution particulière de l'équation de Pviccati. Car alors, si cette équation admet la solution a-', elle admet aussi la solution rJ <j'0 étant imaginaire conjuguée de i' .

20. Euler, qui a le premier étudié le mouvement d'un corps solide, a démontré, en suivant une méthode toute différente, les résultats que nous venons d'établir; nous avons vu qu'il a exprimé les neuf cosinus au moyen de trois angles seulement, et nous savons que les rotations p, q, r s'expriment, en fonction de ces angles et de leurs dérivées relatives au temps, par les formules (12) du numéro 2. Si donc on suppose connues les trois rotations, ces trois formules constitueront un système d'équations différentielles qui remplacera le système (1) et suffira à déterminer les angles 8, es, 'b. A la véi'ité, le défaut de symétrie de ces équations ne permet pas de les employer d'une manière générale; cependant on en déduit très simplement la propriété fondamentale du système (1).

En effet, soient a", b", c" les valeurs particulières, supposées connues, de 2, j3, v vérifiant le système (1) et la relation (7). Si nous prenons comme axe OZ la droite dont les cosinus directeurs sont a", b" ', c", nous aurons alors 9 et o par les trois dernières formules (2) (n° 1). Ensuite la dernière des formules (12), ou la seconde des formules (i3) (n° 2), nous permettra de déterminer à par une quadrature. Connaissant les trois angles d'Euler, nous aurons trois solutions particulières du système (1) et, par conséquent aussi, la solution générale.

11 est aisé de voir que les quadratures à effectuer dans les deux méthodes se ramènent l'une à l'autre et ne diffèrent que par des quantités exactement intégrables.

La méthode d'Euler que nous venons de rappeler a quelque chose d'artificiel. Il semble qu'on se rendra mieux compte de son succès si l'on emploie les considérations suivantes :

a", b" , c1' étant les valeurs particulières, supposées connues, de a, !3, y, il est toujours possible de leur adjoindre, et d'une infi-