X2 RR
du 2eR2 ' 2£-R'2
du dv,
au même ordre d'approximation que précédemment.
Il résulte immédiatement de là qu'il faut, pour qu'une surface soit minima, que la somme de ses rayons de courbure principaux soit nulle en chaque point. En effet, supposons qu'il en soit
autrement, et prenons pour \ une expression de la forme
o étant une fonction de u et de v qui devra s'annuler en tous les points du contour (C) et ?n une constante infiniment petite. L'expression (9) de AS prendra la forme
les termes négligés étant de l'ordre de m2. L'intégrale précédente n'est pas nulle, puisque tous ses éléments ont le même signe. On peut donc prendre ni assez petit pour que les termes négligés, qui sont de l'ordre de m2, soient plus petits que le précédent et, par conséquent, pour que chaque élément de AS ait le signe de — m. En donnant à m le signe positif, on trouvera pour AS une valeur négative; on obtiendra donc une surface dont l'aire sera plus petite que celle de (2).
Ainsi, la première condition pour que l'aire de (S) soit la plus petite possible est que la somme des rayons de courbure principaux soit nulle en chaque point de la surface, ou, ce qui est la même chose, que l'indicatrice soit partout une hyperbole équilatère. L'usage a prévalu d'appeler surfaces minima toutes celles qui satisfont à cette condition ; mais la méthode que nous avons suivie montre bien que, si elle est nécessaire, elle ne sera pas toujours suffisante. Faisons, en effet, R' = — R dans la formule (9); l'expression de AS deviendra
(10) AS =fffi
dû) \dê
ig
du dv.
les termes négligés étant du troisième ordre par rapport à X; et il faudra que l'intégrale double qui figure dans le second membre de cette formule soit positive quand on y substituera une fonction quelconque, assujettie seulement à s'annuler en tous les points du contour de (2). Négligeant ici cette condition supplémentaire, nous nous attacherons à la détermination des surfaces pour lesquelles la somme des rayons de courbure est égale à zéro.
186. Nous venons de voir qu'on peut les définir encore en remarquant que l'indicatrice est une hyperbole équilatère ou que les lignes asymptotiques se coupent à angle droit. 11 y a avantage à énoncer la propriété caractéristique des surfaces minima sous la forme suivante : Les deux familles de lignes de longueur nulle tracées sur la surface doivent former un réseau conjugué. On sait, en effet, que l'hyperbole équilatère est la seule conique admettant pour diamètres conjugués les deux droites de coefficients angulaires -f- i et — i.
Ce point étant admis, prenons comme variables indépendantes a et (3 les paramètres de ces deux systèmes de lignes de longueur nulle. Puisqu'elles forment un réseau conjugué, les coordonnées rectangulaires x, j', z seront trois solutions particulières d'une équation de la forme
On aura donc
(T-x dx dx
dx~àj ~ ~di~ ~d$=°'
dxY-
V dx) + \ dx)
dx\î
(,I} Uldp-A^-B^=°'
d*s àz dz
-■, ~r> A. — B -pr = O,
\ àxù§ dx tf(3
et de plus, par suite du choix particulier de a et de j3,
Les formules (n) et (12) expriment évidemment toutes les conditions résultant, et de la définition de la surface, et du choix des coordonnées.
Or, si l'on différence la première des équations (12) par rapport à (3, la seconde par rapport à a, et que l'on remplace les dérivées secondes par leurs valeurs tirées des équations (11), on trouvera
/ dx dx dy dy dz dz\ \"t^âdp~!~dâJp~i~rfâdp/ — °'
I dx dx dy dy dz àz\
\dx d[i dx dj3 dx d$ )
Comme on ne peul avoir
dx dx dy dy dz dz
~dï ^3 ^ dâ d[i^ te J(B ^ °'
sans quoi l'arc de toute courbe tracée sur la surface serait nul, il faut que A et B soient nuls ; les équations (11) se réduiront aux suivantes :
J^~°' d7dp-°' ted$~°'
dont l'intégration est immédiate et nous donne (i3) Jr=/»(«) + T*(P).
Mais, pour que les écjuations (12) soient satisfaites, il faudra que l'on ait
Les formules (i3) nous montrent que les surfaces minima appartiennent à la grande classe que nous avons déjà considérée (Liv. I, Ch. IX) des surfaces de translation. Nous reviendrons plus loin sur celte interprétation géomélrique des formules (i3) et nous indiquerons tout le parti qu'en a tiré S. Lie.
187. Comme on peut, sans changer le système de coordonnées, substituer à a et à ,3 des fonctions quelconques de ces variables, on pourra supposer
On déduira alors des formules (i4)
et, si l'on supprime les indices, les formules (i3) prendront la D. — 1. 22
forme
z = ifs/l 4- /'*.(«) da ■+- i fs/i 4- «p'*(P) rfp,
qui est due à Monge (' ).
Legendre et Monge ont aussi développé une autre manière de résoudre les équations (i4)- Supposons que l'on ait obtenu six fonctions satisfaisant à ces équations, et posons
ce qui donnera
/,(«) = i/WeOvTTTï, <p'3(P) = «V,(p)/i-+-Pî-
Si l'on prend comme nouvelles variables a, et 3,, on pourra toujours donner à f\ (a), ©, (|3) les formes suivantes :
et les formules (i3) deviendront alors x= /(a,) +T(Pt),
Jl j a encore des quadratures à effectuer. Voici comment Legendre
(l) Analyse appliquée à la Géométrie, p. 211. La méthode par laquelle nous avons obtenu les équations finies de la surface minima laisse de côté, comme la plupart de celles qui ont été employées, le cas exceptionnel où les deux systèmes de lignes de longueur nulle sont confondus dans toute l'étendue de la surface. Alors, nous l'avons déjà vu (n° 121), la surface sera une développable imaginaire circonscrite au cercle de l'infini; elle doit être considérée comme une surface minima; car elle satisfait à l'équation du premier ordre
et, par suite, on le vérifiera aisément, à l'équation
( 1 + g2 ) r — ipqs + ( 1 + p"1 ) t = o,
qui caractérise les surfaces minima.
LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES PONCTUELLES. 33g
les fait disparaître. En intégrant par parties, on a
*l/(al) , /*/(»! ) <***■
J v/i + a? J (n-aî
Si donc on pose
/(a1) = (H-«î)*F'(a1)) et de même
?(Pi)-(n-Pî)**'(pi),
les formules seront débarrassées de tout signe d'intégration. On les trouvera dans le Mémoire de Legendre et dans le Traité de Lacroix (t. II, p. 627).
188. Mais la solution la plus élégante des équations (i4) est celle qui a été indiquée par Enneper (*) et complètement développée pour la première fois par Weierstrass dans les articles déjà cités (n° 183) des Monatsberichte.
Posons
la première des équations (i4) nous donnera
et, par suite, les rapports des trois dérivées f'n f'2, f3 seront déterminés par les formules
11 est évidemment une fonction de a. JNous pouvons, par conséquent, en écartant, pour un instant, le cas exceptionnel où u serait une constante, représenter la valeur commune des rapports précédents par
1 j> , . du
(') Enneper (A.), Analytisch-geometrische Untersuchungen {Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. IX, 1864, p. 107).'
34o livre ai. — CHAP. II.
Nous aurons alors
/,(<x) = l-C(i — u*)4(u)du,
ft(oi) — - I (i-t- m2) § (u)du,
/3(a)= / u§(u)du.
On trouverait de même, en posant
et en suivant une méthode analogue pour ce qu
<?i($) = -j(ï~u\)§\Çui)duu ?«(P)=— ^ f{i + ul)§l(u1)duu ?s(P) = | u1i1(u1)dui.
Les formules qui définissent la surface seront alors
l a?=- f (i — u*) $ (u) du -h - f(i — u\)§x(Ul)duu
(J7) ( JK = - I (i-+- ui)&(u)du ! (i-+- u\)$t(ui) dui,
I j = / u 0 (u) du -+- I Ui$i(Ui) dui.
Il suffira de remplacer J (m) parla dérivée troisième d'une fonction/^) de w, et de même #\ (m, ) par la dérivée troisième d'une fonction y", (ut) pour obtenir les formules suivantes, débarrassées de toute quadrature,
x— a" /"(>) + uf'(u)—f{u)
( 1 8 ) / . i -+- if- . . .
— i — — l-fl ( Uï ) -+- ÏM ,/; ( Ml) — (f, ( M-t), Z = Uf(u)—f.(u)-h Uj\ («l)— /i(»i),
qui ont été données par Weierstrass.
189. Avant de poursuivre l'application des formules précédentes, nous remarquerons qu'elles laissent de côté le cas où l'une des quantités ?/, «,, définies par les formules (i5) ou (16), ne pourrait être choisie comme variable indépendante et se réduirait à une constante. Supposons, par exemple, que u soit constante. On aura alors
/.(g) = f',(a) =/3(«)/ 1 — u2 i(i -+- u2) iu
et, si l'on désigne par - 9' (a) la valeur commune de ces rapports, il faudra substituer aux formules (17) les suivantes :
x = — ■ — 0(a)-i~ - / (1 — uX)§\{u\)du,\,
y — i ' + "'d(g)- - /(H-MS ) §A(UV) d,UU
z = it 6 (a) -H / Ui^i(u\) du-i.
Les courbes u, = const. seront des droites parallèles allant rencontrer le cercle de l'infini. La surface correspondante sera donc un cylindre imaginaire (').
Si u et ii\ étaient toutes les deux constantes, la surface, on le reconnaîtra aisément, se réduirait à un plan.
190. Après avoir signalé ce cas exceptionnel, revenons aux formules (17) et (18). Nous allons indiquer d'abord comment on en déduit toutes les surfaces algébriques.
Siles fonctions désignées par f(u),ft (ut ) dans les formules (18) sont algébriques, la surface minima correspondante le sera aussi. Nous allons démontrer la proposition réciproque et prouver que la surface minima ne peut être algébrique que si les fonctions f(u), y, (uf ) sont algébriques.
Les formules (17) nous donnent les relations
dx du
■ dy
OU
dz Ou
dit] dux
dx . dy
dz diti
(') Les surfaces de cette nature sont celles qui ont été signalées par Poisson dans le Tome II de la Correspondance sur l'École Polytechnique. Voir n° 180.
dont les premiers membres peuvent être calculés, car ils se rapportent à des déplacements effectués suivant les lignes de longueur nulle de la surface ; p et q désignant les dérivées partielles de z, considérée comme fonction de x et de y, les équations
i clz = p dx -+- q dy, I dx*.-+- dy'- -+-dz* = o
déterminent deux systèmes différents de valeurs pour les différentielles dx, dy, dz. Soient
ox, oy, oz; o'x, o'y, o' z
ces deux systèmes différents; u et uh seront évidemment définis,, soit par les formules
ox -\- ioy 8'x — io'y
(21) 5 = U, —, — = Ui,
soit par les suivantes :
o' x -\- i o' y ox — i8y
(22) ■ £7 — = — u, s — = — Ui,
0 z oz
et seront, par conséquent, dans le cas qui nous occupe, des fonctions algébriques de x et dey. Réciproquement, x, y et, par suite, z seront des fonctions algébriques de u et de u{. Soit
l'expression de l'une quelconque des coordonnées; on aura une relation algébrique
F [cp (u) -+- uj (iii), u, U]] — o.
Il résulte de là, évidemment, que o [u) et o, (m, ) seront des fonctions algébriques ; car si, dans l'équation précédente, on donne à uK, par exemple, une valeur fixe quelconque, c5,(m() prendra une valeur constante, et il restera une équation algébrique déterminant o (u).
En appliquant cette proposition aux trois coordonnées, nous voyons que les parties de leurs expressions qui ne dépendent que
de u.
P = J' — 7^-/"(») — »«/(») + »/("), T = uf"(u)—f(u),
doivent être des fonctions algébriques de m; il en sera donc de même de la combinaison
a ( I — II- ) -+- p i ( I -t- l/-) + 2 V z< = — 2f(u),
c'est-à-dire de f(u). Comme le raisonnement s'applique également à la fonction J\(u{), la proposition de Weierstrass est complètement démontrée.
191. Recherchons maintenant à quelles conditions la surface représentée par les équations (17) ou (18) sera réelle. Considérons d'abord les formules (17); si l'on y prend pour .?(«), $\{u) des fonctions imaginaires conjuguées et si, de plus, les intégrales relatives à u et à us sont prises suivant des chemins imaginaires conjugués, les expressions des différentes coordonnées seront évidemment réelles ; car, à chaque élément de l'intégrale relative à m, on pourra faire correspondre, dans chacune des trois formules, un élément imaginaire conjugué de l'autre intégrale. Nous allons montrer que ces conditions, qui sont suffisantes, sont aussi nécessaires.
Reportons-nous, en effet, aux formules (20) à (22). Pour tout point réel d'une nappe réelle, on pourra supposer que les deux systèmes de rapports ox, oy, 5.3 ; ù'x. S'y, B'z, définis par les formules (20) se déduisent l'un de l'autre par le changement de i en — i. Par suite, les valeurs de u et de ut déduites de l'un ou l'autre des systèmes (21), (22) seront imaginaires conjuguées.
On déduit, d'autre part, des formules (17) les suivantes :
dx .ôy j, , dx . dy j , ■ ■
du du Olly Olli
Comme les premiers membres de ces relations sont imaginaires conjugués, il en sera de même des seconds. Les fonctions $ (u); 3't (m, ) doivent donc être imaginaires conjuguées, ainsi que les arguments m, it\.
344 LIVRE ni. — CHAP. II.
11 résulte cle là que les nappes réelles de la surface minima seront représentées par les équations
/ x = A / ( i— u2)3 (u) du,
( 23 ) J y = A f*i(i-+-u*) i( u ) du ,
' z = $ f'2u §(u)du,
le signe SV indiquant que l'on prend seulement la partie réelle de la fonction. Les deux variables réelles dont dépend la position du point sont alors la partie réelle et la partie imaginaire de l'argument u.
En ce qui concerne la recherche des surfaces réelles, les formules (18) présentent une légère difficulté. Il est clair que, si l'on y substitue pour f(u), f\(U\) deux fonctions imaginaires conjuguées, la surface correspondante aura des nappes réelles, que l'on obtiendra en donnant à u et à at des valeurs imaginaires conjuguées; mais la proposition réciproque n'est pas exacte. Pour que la surface minima soit réelle, il n'est pas nécessaire Quef(u) etfi (uf ) soient des fonctions imaginaires conjuguées. En effet, les expressions de ce, y, z ne changent pas, on le vérifie aisément, si l'on y remplace f(u),f\ («<) respectivement par
f(u) -t- A (i — î<2) +Bi'(i+ ii*) -+- 2C« = <p(zO, /l(Wl) — A(l— Mf)^-Bî([-hKf)— 2Gw1=cp1(M,),
A, B, G désignant des constantes quelconques. En admettant même que /(m) etf{ (ut) soient des fonctions imaginaires conjuguées, la même propriété ne saurait appartenir aux fonctions cp(w), j,(M|) pour toutes les valeurs des constantes A, B, G. Maison peut démontrer que, dans le cas où la surface minima est réelle, parmi toutes les déterminations possibles du système des deux fonctions f{u), f\ (ut ), il en existe toujours une infinité pour lesquelles les deux fonctions sont imaginaires conjuguées. En effet, les équations
lx = ${. Ki-u*)f[(u) + iuf(u)-^f(u)], (24) ] y = &i[(n- u-)f(u) —luf'(ll) -+- 2/O)],
= Jl [iuf"{u)-if'(u)\
représentent évidemment une surface réelle ; et, pour toute fonction f{u) satisfaisant à l'équation
les différentielles des coordonnées déduites des formules (24) sont identiques à celles que l'on obtient au moyen des formules (23); par conséquent, les équations (28) et (24) représentent deux nappes réelles, que l'on pourra toujours faire coïncider par une simple translation imprimée à l'une d'elles. Ce point étant admis, substituons à la place def(u), dans les formules (24), la fonction plus générale qui satisfait encore à l'équation (â5)
/( u) -+- A ( 1 — u'1 ) + Bf(i+ït'-) + 2C 11.
Les expressions de x, y, z- s'y trouveront augmentées respectivement de
— 4$. A, -4<RB, — 4<RG.
On pourra disposer des parties réelles des constantes A, B, C de manière à faire coïncider les deux surfaces représentées par les formules (28) et (a4); quant aux parties imaginaires de ces constantes, elles demeureront entièrement arbitraires. On pourra donc, sans changer la surface, substituer à la valeur obtenue pour f{u) l'une quelconque des fonctions comprises dans l'expression générale
/( u ) -+- ai( 1 — u"2 ) -+- b ( i -t- u- ) -+- ciu,
où «, 6, c sont trois constantes réelles quelconques.
192. Revenons aux formules (28). Elles établissent, comme l'a fait remarquer Weierstrass, le lien le plus étroit entre la théorie des fonctions imaginaires et celle des surfaces minima. En effet, à toute fonction 3 (u), ces formules font correspondre une surface minima réelle dont les différentes propriétés donneront la représentation géométrique la plus parfaite et la plus élégante de toutes les relations analytiques auxquelles la fonction donne naissance.
Cette surface minima est pleinement déterminée de forme et d'orientation; mais elle peut être déplacée parallèlement à ellemême, si l'on ajoute des constantes quelconques aux intégrales qui figurent dans les formules (28). On peut donc dire qu'à une
