LIVRE III. — CHAP. II. — LES SURFACES MINIMA

fonction $(u) de l'argument imaginaire correspond une seule surface minima, mais la proposition réciproque n'est pas vraie en général. Il suffit, pour le reconnaître, de remarquer que les formules (21) et (22) du n° 190 nous conduisent à deux systèmes différents de valeurs pour u et ut et, par conséquent, à deux expressions, différentes en général, pour la fonction § (m).

On arrive au même résultat par le raisonnement suivant. Reprenons les formules (1 -) et cherchons si l'on peut leur substituer d'autres formules semblables, où u et u{ soient remplacées par v et vK et 3(u), ^ ( m 1 ) par d'autres fonctions (-j(v), Q\ {v\)- Les paramètres u et u{ étant, comme v et v{ , ceux des lignes de longueur nulle de la surface, il faudra que v soit fonction de u et que vt soit fonction de u,, ou bien que v soit fonction de ut et que vt soit fonction de u. La première hypothèse nous donnerait évidemment

V = U, f>l=U|, ~Q{v)=§(u), Çi(^i) = #i(ki).

La seconde se traduira par les équations

(i — ui)${u)du = Ci — v\)Ql(vx)dvx, (i — u\)§i(ui)dui = (1 — v*)Ç(v)dv, (i-i- u2 ) §{u) du = — (1 + ^1)^1(^1) dvt, (1+ u\ ) §x (iii) du\ — — (1 + p2) (j(v) dv, u3(u)du = vi§{vi) d\>i,

U\ $\ ( Mi) dii\ — pÇ(v)rfc,

qui donnent

Si l'on se borne aux surfaces réelles, on voit qu'à une même surface minima on peut faire correspondre les deux fonctions

$(u) et L<M I

là \ u

qui sont différentes en général. Nous aurons à revenir sur ce point très important, pour l'étudier d'une manière détaillée.