CHAPITRE III

Formules relatives au plan tangent et à la normale. — Nouvelle méthode d'intégration de l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima; on emploie le système de coordonnées tangentielles étudié au n° 165. — Équation finie qui représente la surface minima la plus générale quand on adopte un système quelconque de coordonnées tangeniielles. — Quand la surface minima est donnée a priori, on indique comment on obtiendra les expressions des fonctions <#(u), ^(«j), /(&Oj/i(Mi) q^ caractérisent cette surface. — Application à l'hélicoïde gauche à plan directeur.

Détermination des lignes de courbure et des lignes asymptotiques des surfaces minima. Théorème de Michael Roberts. Cette détermination se fait par des quadratures, qui sont les mêmes pour les deux séries de lignes. — Les formules relatives aux coordonnées tangentielles permettent de résoudre une question importante et d'indiquer les transformations que subissent les fonctions /( u)> /i(Mi)5 $ (u)> ^i(wi) quand on déplace la surface ou, ce qui revient aumème, lorsqu'on effectue un changement de coordonnées. — Application des résultats obtenus à la détermination de toutes les surfaces minima qui sont des hélicoïdes, des surfaces de révolution ou des surfaces spirales.

Détermination de toutes les surfaces minima qui peuvent, d'une infinité de plusieurs manières, et par conséquent ici. d'une infinité de manières, être considérées comme des surfaces de translation.

193. Après avoir indiqué les formules qui définissent les points de la surface minima, nous allons étudier celles qui concernent le plan tangent et la normale.

Soient c, c', c" les cosinus directeurs de la normale. Ils seront, définis parles équations

dx , dy H dz

c— -t-c' t-cw— =o,

du au ou

ax , oy „ oz

OUi OUi OUi

Si l'on remplace les dérivées de x: y, z par leurs valeurs tirées des formules (17) (n° 188), on trouvera, en attribuant un sens

déterminé ;i la normale,

. . U ■+- Ut , . U\ — Il ,, Ull\ — I