hUUi I + K«| I -+- UUi

Si l'on écrit l'équation du plan tangent sous la forme

(3) (u-i- «i)X -+- i(iii— u) Y -i- (uiii — i) Z -+- £ = o, on aura

\ =s (îi + ï(,)3'+ t("l — ")jK + (MMj \)Z.

En substituant à la place de oc, y, z leurs valeurs déduites des mêmes formules (17), on aura

(4)j|=/ la-«)(i + a«I)|(a)à+ / (at— Ki)(l-t- ^ w) '^(oci) ^at,

les intégrales relatives à a et à a, devant être prises suivant les mêmes chemins que celles qui se rapportent à u et à «,. Si, pour ne pas avoir de quadrature, on emploie les formules (18) du Chapitre précédent, on trouvera

(5) \ = 2U1f(u)-h2ufi(ul) — (ï-hUUi)[f(u) -hfi(Ui)].

194. Les variables u, m,, £ constituent ce système particulier de coordonnées tangentielles que nous avons étudié au Chapitre VII du Livre précédent. Avant de continuer, nous montrerons que les formules établies (n° 165), relativement à ce système de coordonnées, permettent de déterminer toutes les surfaces minima par une méthode qui revient, au fond, à celle de Legendre.

Reprenons, en effet, ces équations en y remplaçant a par u, (3 par u{. D'après la première des formules (33) (n° 165) qui fait connaître les rayons de coui-bure de la surface, nous reconnaissons immédiatement que l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima sera

(6) ç — pu — giii-h (1 -h uui) s = o,

/?, q, s désignant, suivant l'usage, les dérivées de £. Cette équation aux dérivées partielles s'intègre par les procédés réguliers et, en particulier, par la méthode de Laplace ; mais on peut encore opérer comme il suit :

LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 34g

Prenons la dérivée seconde du premier membre par rapport à u et à uK ; nous trouverons

(i -+- uu{)

du diii

s sera donc la somme d'une fonction de u et d'une fonction de u,. D'ailleurs, en différentiant l'équation (6) par rapport à u ou par rapporta m,, on obtient les deux équations

-h Uy

\ ds 1 du

\ ds ' dii\

qui permettent de calculer r et t quand s est connue. On pourra donc trouver p et q par l'intégration de deux différentielles à deux variables.

Ecrivons s sous la forme

(8) s=f{u)^uf(u)+fl(Ul)-Ulfi(Ul);

nous aurons, en vertu des équations (■j),

(9) 7-=— (l+ UUi )f'"(u), t=—(i-huul)f"î(ui) et, par conséquent,

p = I ( r du -+- s de <

= 2/1 (lli ) — uif[(u1)-h uif(u) —(i-^uui)f'(u), I q = I (s du -f- /; <f?/ ! )

= lf(U) — llf'{u) ■+■ Uf\(u{)— (l + MMi)/'i Ol)-

Il est inutile d'ajouter aux valeurs de j9 et de <y des constantes que Ton peut toujours supposer réunies àf(u) et/", (ii\). Si l'on porte ces valeurs de p et de q, jointes à celles de s, dans l'équation (6), on retrouve précisément la valeur de ç donnée par la formule (5).

195. L'équation (5) doit être regardée comme l'équation de la surface, écrite dans un système particulier de coordonnées tangentielles; mais, si l'on prend l'équation du plan tangent sous sa

35o livre in. — CHAP. III.

forme la plus générale,

UX + VY + WZ+ P = o,

on peut aussi obtenir la relation entre U, V, W, P qui caractérise les surfaces minima.

En identifiant l'équation précédente avec la suivante :

X (u ■+- ut) -+- ÎY (u\ — u) -+- Z ( uiii — i) -+- \ = o, on trouve, en effet,

U V W P ±v/lJ2-i- V2-f- W2

u -f- U\ i{i(i—u) uui — i £ uu\-+-i

et, par conséquent,

U -+- iV U — iV 2P

H désignant le radical

H =±/U2+V^+Wl Portons ces valeurs clans l'équation (5), nous trouverons

Si l'on suppose la surface réelle, les fonctions f et fK seront imaginaires conjuguées. Posons

F, et F2 étant la partie réelle et la partie imaginaire de f. On obtiendra, par un calcul facile, l'équation

(II) f =-2H,dw[H(W + H)]'

d'où les imaginaires ont complètement disparu. On peut aussi employer la forme

(i2) p = 2UF1+aVF,-2(U*+V«-+-W«)(^1 -+-^r)>

qui a été donnée par Weierslrass (article cité, n° 183).

LES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 35 l

Supposons, par exemple,

/(tt)=ii«;

on aura

U3— 3UV2 - V3.4-3VU2

Pour /(w) = um: on aurait

P^(l(H-Wr-'V[(U + V^"1 + (U-V°W'']-

196. Nous présenterons encore une remarque sur l'équation en coordonnées tangentielles des surfaces minima. Ecrivons-la avec les variables u, uf, ç; les formules (9) nous permettront sans difficulté d'obtenir les fonctions $(u), $t(u\) relatives à la surface. On aura

} ■ J v ' T -f- Ull,

I 3l{lll)=f'ï("l) =