I -+- UUi
il suffira donc de calculer les dérivées secondes r et t et d'éliminer \ au moyen de l'équation de la surface pour obtenir les équations qui donnent les deux fonctions §{ u), §i (u{ ). Considérons, par exemple, l'hélicoïde
Y z = k arc tançr —>
dont l'équation en coordonnées tangentielles est
w=/rarctang-;
si l'on remplace U, V, W, P par leurs expressions en fonction des variables a, w, , £, elle deviendra
t = k(uu\ — 1) arc tang 1 = A: jL —
On aura ici
ik(i-\-uii\) — ik(i-\-uUi) r = , t = r
et, par conséquent,
— ik ; . . ik
La détermination des fonctions f(u), f^{ii\) correspondant à une surface miniina donnée peut aussi être obtenue, mais d'une manière moins complète, puisque nous avons vu au n° 191 qu'à une même surface minima correspondent une infinité de systèmes de valeurs des fonctions f(u),fi(ul).
La combinaison des formules (5) et (io) nous donne la relation nouvelle
q (i -+- uux ) — %u = Q.f( u) — 2 u-fx ( », )
Sil'ondonneà u{ une valeur constante quelconque «,, le second membre devient égal à 2f(u) augmenté d'un polynôme du second degré en u. On aura donc
/w-[>('+f ^^^.^PC).
P désignant un polynôme du second degré en u. De même, on pourra prendre
p(X-+- UUi)
Écrivons P et P, de la manière suivante
Pi(wi).
- w2) -+- Bj'(i+ u2) -+- 2 Cm,
P1(ui) = X1(i-
— U\ ) — Bj l(l -4- lt^ ) -+- 2 Ci M
En substituant les expressions de /(u) et dey", ( j/. , ) dans l'expression de £ donnée par la formule (5), on trouvera un résultat de la forme
6 (u, «i, «, «]) = 2(A -t- A] ) (u -+- iii )
+ 2(B + B1)j'(u1-!<) + î(C + Ci) (uuA — i),
où le premier membre sei^a complètement connu. Celte identité permet évidemment de déterminer, autant qu'elles peuvent l'être (n° 191), les constantes A, A( , ... et par suite les fonctions/(w), /, (nt). S'il s'agitd'une surface réelle, on pourra supposer a et at
imaginaires conjugués, et prendre
À,= A, B]=B, Ci=C;
les valeurs de A, B, C seront alors réelles.
En appliquant cette méthode à l'hélicoïde, on obtiendra les expressions suivantes :
/• 1 "J T /- / \ / lfl * T
/( u ) = k— L u, fi( ui )=—k—-huu pour l'un des systèmes de valeurs def(u) et de/, («,).
197. L'équation en coordonnées tangentielles obtenue pour les surfaces minima conduit à la détermination la plus simple des lignes de courbure et des lignes asympiotiques- de ces surfaces.
Lorsqu'on emploie les variables u, u{, £, l'équation différentielle des lignes de courbure prend la forme (n° 165)
/' du% — t du] = o.
Remplaçons ;•, t par leurs valeurs (9) et nous aurons
§ (u) du- — *i(«i) du\ — o.
Les lignes de courbure s'obtiennent donc par des quadratures et ont pour équation
(14 ) / si â (11 ) du ± / y/3'i( u\) diti = const.
Si l'on écrit
du
cette équation déterminera le signe qu'il faut attribuer au radical pour chacune des lignes de courbure, et les formules (33) (n°165) nous donneront les coordonnées X, Y, Z du centre de courbure et le rayon principal R correspondant à la ligne de courbure considérée. On a ainsi :
2R = (1-+- uitifs/ j (u) #i(«i),
U-ll] — I /-T" ~
Z = z H V7-? ( u ) 3>, ( Ut ),
X — t'Y == x — iy -+- 1*1 (i-H uu{)\J§ {u)§x (u{),
