SUR L INTÉGRATION DU SYSTÈME LINÉAIRE
nilé de manières, deux groupes a\ b' ', c', a, b, c, de fonctions de t qui complètent avec r/', 6'7, c" un système de neuf cosinus. Effectuons alors sur le système (1) la substitution
a = aa'-f- a'P'-t- «"■/, p= fta' h- 6'(i'-+- 6" 7',
Y = ca'-t- c'p'-f- c'y',
le système (i) se changera en un autre système linéaire qui admettra encore l intégrale quadratique
a'2 -4- P'2-t- y'2== const.
et sera, par conséquent, de la forme
dz „, , 11 d$' 11 • ■ di 1 ' o' 1
dt r ' J ' dt ' l dt J ' l
p' , q\ /'' étant de nouvelles fonctions de t.
Or, d'après les formules de transformation, ce nouveau système doit admettre la solution particulière
a' = o, jB' = o, y'= '•
On doit donc avoir
en sorte que les équations précédentes deviennent <:<?x' , rfS' , , dy'
et s'intègrent complètement à l'aide de la seule quadrature / /*' dt. C'est le résultat d'Euler.
"21. Après avoir envisagé les solutions du système (i) pour lesquelles la somme
est différente de zéro, il nous reste à étudier celles qui satisfont à la condition
(a3; a«-hP*-j-Yi=;0-
Elles se présentent dans l'étude de différentes questions, en
particulier dans les belles recherches d'Hermile sur la rolalion d'un corps solide ('). 11 est facile de voir que, dans le cas où/?, q, /-sont réelles, la connaissance d'un seul de ces systèmes donnerait la solution complète du problème.
Soient, en effet,
a = a' -t- fa", j3 = £' + i rf, y = y' + »Y,
les valeurs, nécessairement imaginaires, de a, (3, y, vérifiant la relation (23). Les parties réelles a', p', y' et les parties imaginaires a", fi", y" de a, [3, y constitueront évidemment deux systèmes différents de solutions réelles du système (i) pour lesquels la somme aa[ 32 i .,2 sera différente de zéro. L'application des formules (6) fera connaître alors, sans intégration nouvelle, la solution complète du système (i).
Pour étudier et déterminer complètement les systèmes vérifiant la relation (28), on peut procéder comme nous l'avons fait dans le cas où la somme des carrés des solutions n'était pas nulle. On exprimera a, (3, y en fonction de deux arbitraires u et v de manière à satisfaire à la relation (20); ce qui se fera, par exemple, au moyen des formules
(24) y.= uz — v-, fJ = i(a\-+- p2), -> = -iuv.
En portant ces valeurs de a, [i, y clans le système linéaire (1), celui-ci se réduira aux deux équations suivantes :
( du dt
) dv
\ dt 2 2
qui sont linéaires. Elles jouent évidemment par rapport à l'équation (1 1) le même rôle que le système (22) par rapport à l'équation générale de Riccati. Vu reste, il est facile de rattacher le système (26) à l'équation (1 1), car si l'on ajoute les équations précécédentes, après les avoir multipliées respectivement par v et — u, et si l'on pose
(') Hermite, Sur quelques applications des fonctions elliptiques {Œuvres de Charles Hermite, t. lit. p. i[)\ et suiv.).
ir
ip
ir
SLR L INTEGRATION PI SYSTEME LINEAIRE. 09
«m retrouve précisément l'équation de Riccati (i i)
'h q — ip . q -+- ip
— = i- : iri -i- — a2
at 2 2
qui joue le rôle fondamental dan- noire première méthode.
22. Nous a\ons vu que, si u0, r0 ; «,, t>, désignent deux systèmes de solutions des équations (a5), on a
u-ovi — <'o «1 = const.
11 résulte de là que, si l'on a obtenu une solution particulière uf, v' du système (20), on en connaîtra par cela même une intégrale première
uv' — vu1 = const. = G,
ce qui permettra d'achever, à l'aide d'une seule quadrature, l'intégration complète du système (a5). Il suffit, en effet, de remplacer r par sa valeur
uv' — G u'
dans la première équation (2b ), pour obtenir l'équation linéaire
d ! u \ ., q — ip
dt V u' I 1 u
qui s'intègre à vue par une seule quadrature.
Au reste, si p, g, r sont des fonctions réelles de t, le système ne peut admettre la solution
sans admettre également la suivante
où u'0i v'0 désignent les imaginaires conjuguées de m', v' respectivement. Alors son intégration complète s'achèvera sans aucun signe de quadrature.
En général, lorsqu'on aura intégré le système (20) par les formules
« = Cï('-rD«") v = Gv'-hDv",
4o LIVRE I. — CIIAP. II.
où C et D désignent les deux constantes arbitraires, la substitution de ces valeurs dans les formules (r>.4) donnera trois solutions distinctes du système fondamental (i) (n° 13)
oc= u'- — r'2, 'p = i(u- -+- t''2 ), •y — 2.u'v\
Si même on les combine linéairement de la manière suivante :
II'- — p'2-i-i'"2 — II"'2 n . ll'--T-i''- II"' i'"' , , ,, ,,
« = , p = l 1 Y = U V II V
et si l'on suppose, ce qui est permis,
on aura les éléments d'une substitution orthogonale.
WLbls. En terminant ce Chapitre, où nous nous sommes occupés de la détermination du mouvement lorsque l'on connaît/?, </, /• et où nous avons reconnu qu'on peut la faire dépendre, soit de l'intégration du système (i) qui contient trois inconnues, soit de l'intégration du système (20) qui n'en contient plus que deux, il nous paraît intéressant de remarquer que l'on pourrait employer aussi le système (i5) du numéro 1, où l'on supposerait B = 1, et qui deviendrait alors :
dk
du. .,
-7- = — r k dt
py — qp,
dv .
d'j 2 -j- = p A H- £ (JL -t- /"v * .
Ce système, qui détermine les paramètres quaternioniens du
sua l'intégration du SYSTÈME LINÉAIRE. ,{[
déplacement, est linéaire comme les précédents. Il se rapproche du premier, en ce qu'il admet comme lui une intégrale quadratique et est, comme lui, identique à son adjoint; mais il contient une inconnue de plus.
Ainsi, on aura le choix entre trois systèmes, contenant respectivement quatre, trois ou deux inconnues.
