LA SUKFACE ADJOINTE DO. BONNET

les surfaces associées s'obtiennent en remplaçant S'(m), $t(ut) respectivement par &(u)eia, J, (ii\ )e~ici( ' ).

En particulier, la surface adjointe est définie parles équations

■ /*i — u% rP 7 • /"i — U'\ rP / n 7

,r0 = z / g1 {u) du — ? / 3 1 ( m i ) « « i ,

, „ , /" I -f- U2 j . , . r \ -4- ui^> . ,

(6) < JKo = — / — - — à{u)dii— I — —±3'i(uOd"i,

' z0 = i l u 3 (u) du — i I u<l§i(ui) dui,

qui se déduisent des formules (5) par la substitution de i§(u) à &[u)etde — /-5ri(w() à $i(ui). A chaque nappe réelle d'une surface minima correspondra évidemment une nappe réelle de la surface adjointe. Si la surface proposée est algébrique, il en sera de même, et des surfaces associées, et de la surface adjointe.

211. Quel que soit le système de détermination employé pour les valeurs de a?, r, z; x0: v0: s0, les coordonnées X, Y, Z d'un point de la surface associée qui correspond à une valeur quelconque de a s'expriment de la manière suivante :

I X = x cosa -t- x0 sin a,

(7) \ Y =jcosa+j-0sina, ! Z = z cosa -f- z0 sin a.

En écrivant que le carré de l'élément linéaire de cette surface dX2-+-rfY2+rfZ2

est indépendant de a, on est conduit aux relations

dx2 -+- dy2 -h dz2 = <r/:r •; -1- dy\ -+- dz2,

l dx dx0 -+- dy dy0 -+- dz dz0= o,

qu'il est d'ailleurs aisé de vérifier. Ainsi, non seulement une surface minima et son adjointe sont applicables l'une sur l'autre et elles ont, comme deux surfaces associées quelconques, la propriété que leurs plans tangents aux points correspondants sont parallèles ;

(') Ce moyen si simple d'obtenir toute une famille de surfaces minima applicables sur une suifuce minima donnée est dû à M. Schwarz qui l'a donné dans l'Article déjà cité : Miscellen aus dem Gebiete der Minimaljltichen, p. 286.

mais, de plus, les tangentes à deux courbes correspondantes sont toujours perpendiculaires. Nous dirons alors que les éléments correspondants des deux surfaces sont orthogonaux.

212. Avant de continuer l'étude des surfaces associées, nous remarquerons que les formules (8) ont conduit M. Schwarz à un procédé très élégant de détermination de la surface adjointe (').- Nous avons déjà démontré que, si une surface minima est donnée par son équation, on peut obtenir, par des différenliations et des éliminations, et sans aucune quadrature, les expressions des coordonnées en fonction des variables w, ut. Ces expressions une fois obtenues

y = t(») + M ki), * = X(»)+'3Ci(Mi)i

on en déduira immédialement celles qui conviennent à la surface adjointe et qui sont

.r0= ï[<?(k) — cpi(Kt)], jo= i[b(u) — ^i(ai)], ^o = i[x(u) — Xi(ki)].

Les formules données par M. Scliwarz exigent, au contraire, l'emploi de trois quadratures, mais elles sont de la plus grande élégance et ont des applications très importantes. Nous allons les faire connaître.

Désignons maintenant par X,Y, Z les cosinus directeurs de la normale, qui sont définis par les formules déjà données (n° 193)